Definíamos el otro día los números de Motzkin, que formaban la serie A001006 de OEIS:
1, 1, 2, 4, 9, 21, 51, 127, 323, 835, 2188, 5798, 15511, …
Según un estudio de Toni Foster, psicólogo texano, existe una íntima relación entre esta serie y la de Fibonacci
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …
que vamos a mostrar aquí:
1) Desde la serie de números de Motzkin, {mi ; i=0,1,2,3,…} construimos una nueva serie a partir de la expresión ni = 2mi + mi+1 ; i=0,1,2,3,…:
n0 = 2m0 + m1 = 2×1 + 1 = 3 ;
n1 = 2m1 + m2 = 2×1 + 2 = 4 ;
n2 = 2m2 + m3 = 2×2 + 4 = 8 ; …
obteniéndose la serie 3, 4, 8, 17, 39, 93, 229, …
2) Calculamos los determinantes de las sucesivas matrices de Hankel de orden k construidas tomando los 2k-1 primeros términos de esa última serie, obteniendo
que son los números de Fibonacci situados en la serie en la posición 2k+2
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