Con tres capicúas basta

El matemático español Javier Cilleruelo, que fue profesor de la Universidad Autónoma de Madrid y miembro del Instituto de Ciencias Matemáticas (fallecido hace dos años), junto con Florian Luca y Lewis Baxter, demostró que

cada número natural es la suma, como máximo, de 3 números naturales cuya representación en una base, mayor o igual a 5, es un capicúa

quedando los casos de bases B = 2, 3, 4 sin resolver.

Por ejemplo, en base 10,

389 = 11 + 55 + 323

Hemos llegado a usar una aplicación online  que descomponía los números, en base decimal, según el teorema indicado en esta dirección. Ya no nos funciona pero obtuvimos, por ejemplo, que

Recientemente se ha demostrado que esta afirmación también vale para las bases B = 3 y 4, siendo necesario un mínimo de 4 capicúas para la base binaria.

Más información en este enlace.

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En el hotel

En un hotel de Menorca hay 120 personas distribuidas entre la recepción, el bar, el comedor y el salón de reuniones. La cantidad de personas que hay en el bar es un quinto de la que hay en el comedor, y en la recepción hay un octavo de las que hay en el salón.

Al pasar diez personas del comedor al salón y seis del bar a la recepción, en la recepción hay un sexto de las que quedan en el comedor.

¿Cuántas personas había inicialmente en cada uno de los lugares mencionados del hotel?

El cuadrilátero verde

En la figura se observa un triángulo isósceles dividido en cuatro regiones de las que conocemos las áreas de los tres triángulos: 3, 3 y 6 cm2.

Si M  y N  son los puntos medios de los lados iguales, ¿cuál es el área del cuadrilátero verde?

Triángulos acutángulos en un círculo

No me he parado a deducir ni cuestionar su veracidad, pero en MathWorld se afirma que

la probabilidad de que tres puntos cualesquiera de un círculo, tomados al azar, formen un triángulo agudo es

Y… ¿qué probabilidad hay de que tres puntos de una circunferencia, tomados al azar, formen un triángulo acutángulo?: er tipo de matemáticas lo deduce razonadamente.

Sumas de consecutivos

Halla el menor número natural que es suma de 9 naturales consecutivos, es suma de 10 naturales consecutivos y además es suma de 11 naturales consecutivos.