Semis en cuartos

En el dibujo aparece un cuarto de circunferencia de radio 1 y dos semicircunferencias tangentes.

¿Cuál es el radio de la semicircunferencia pequeña?

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La superficie del lago

Dos hermanos, Ángel y Benito, heredaron dos campos cuadrados cada uno, y un lado de cada uno de los cuatro campos forma la orilla del lago cuadrilátero Raum, que tiene dos ángulos opuestos rectos, precisamente en donde los hermanos construyeron sus casas.

Por supuesto, ambas superficies heredadas miden lo mismo y las dimensiones de cada campo es, en decámetros, un número entero.

Un día Benito sale de su casa corriendo a velocidad siempre constante, entre 15 y 20 km/h, y alcanza el muelle en treinta segundos. Pasa por la casa de Ángel un minuto y medio después de comenzar a correr y da la vuelta completa al lago en cuatro minutos.

¿Cuál es la superficie del lago en áreas?

Vecinas

Angelines, Rocío y Tere viven en la misma comarca.

En línea recta, las casas de Angelines y Rocío están separadas por un número entero de hectómetros y las casas de Angelines y Tere en un número entero de kilómetros.

Además, siempre en línea recta, hay exactamente diez kilómetros más entre la casa de Rocío y la de Tere que entre la casa de Rocío y la de Angelines.

Finalmente, el triángulo formado por las casas de las tres vecinas es un triángulo rectángulo.

¿Cuál es, al menos, la distancia entre la casa de Angelines y la de Tere?

En cuadro

Con centro en el vértice B del cuadrado ABCD se traza un arco de circunferencia de radio igual a la longitud del lado del cuadrado.

Un punto P de dicho arco dista 8 cm del lado AD y 1 cm del lado DC.

¿Cuál es la longitud, en centímetros, del lado del cuadrado?

Razón entre segmentos

En la semicircunferencia de la figura, con centro O, OM = 3×MQ y RM es perpendicular a PQ.

¿Cuál es la razón entre PR y RM?