La bandera de Argos

Argos, país muy lejano, ha decidido identificarse con una bandera.

Esta bandera debe estar compuesta por seis cuadrados dispuestos en un rectángulo, como en el dibujo adjunto, y debe llevar tres colores: un cuadrado azul, dos cuadrados amarillos y tres cuadrados rojos.

Como se ha organizado un concurso para elegir la distribución de colores más atractiva, ¿cuál es el número máximo de propuestas diferentes que pueden recibir los organizadores del concurso?

La fiesta

Veinticinco personas asisten a una fiesta.

Los saludos habituales son los siguientes:

• Todas las mujeres se dan un beso entre ellas, y cuando dos mujeres se besan son dos besos los que se intercambian.
• Cada mujer se da dos besos con cada hombre, excepto con su compañero en el caso de que lo tenga. Es decir, cuando una mujer y un hombre se besan se contabilizan cuatro besos.
• Los hombres, entre sí, se saludan todos dándose la mano.

Después de saludarse todo el mundo se han dado 774 besos y 55 apretones de manos.

¿Cuál es el número de mujeres solas que hay en la fiesta?

PD.- El único tipo de parejas asistentes a la fiesta es el correspondiente a la formada por hombre y mujer.

La conferencia

En una conferencia, los 2016 asistentes están registrados desde A₁ hasta A₂₀₁₆

Cada participante desde A₁ hasta A₂₀₁₅ estrecha la mano de un número de participantes igual a su propio número de registro.

¿Cuántas manos ha estrechado el participante A₂₀₁₆?

Simplificación obligada

Escribe la expresión más simplificada del número

El lugar en el número

Escribimos todos los números del 1 al 9999 de forma consecutiva formando el número

Halla la cifra que ocupa el lugar 2016 en dicho número.