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El juego de Euclides

Un excelente juego, de lápiz y papel, para dos o más jugadores.

Los jugadores piensan sendos números distintos del 1 al 100 y los marcan en un tablero 10×10 donde están escritos todos los números del intervalo citado.

Por turnos (hay que establecer, por sorteo, quién empieza) sucesivos cada jugador resta dos de los números marcados (el menor del mayor) y señala el número resultante en la tabla de la misma forma que los anteriores ya marcados.

Pierde el jugador al que le resulta imposible crear una diferencia positiva distinta a la de los números ya marcados en el tablero. Es decir, el jugador que señala el último y nuevo número gana el juego.

En el ejemplo que se muestra, dos jugadores han elegido el 65 y el 58.

Después se ha ido marcando sucesivamente los números 65-58=7,  58-7=51, 65-51=14, 65-7=44… y puede continuarse hasta que ya no se obtengan nuevos números.

Un juego, para dos jugadores, en el que se hayan elegido los números 8 y 2 acaba en la segunda diferencia: el primer jugador elegiría 8-2=6 y el siguiente 6-2=4, acabando ya todas las posibilidades de obtener una nueva diferencia positiva y ganando, entonces, el segundo jugador.

Para analizar bien el juego, y sus posibles estrategias ganadoras, es bueno señalar el conjunto inicial de números marcados y estudiar varias tablas de juego terminadas, comparando el patrón de los números marcados en cada juego. Lo ideal, en este caso, es que el juego a estudiar sea sólo para dos jugadores.

Javier Gómez, de la Universidad Politécnica de Cataluña, en el II Seminario sobre actividades para estimular el talento precoz en Matemáticas VI Reunión Nacional de Estalmat (Madrid, 14 de Marzo de 2009) explica el juego y lo analiza en este documento (págs. 23 a 27). Al leerlo se justifica el nombre del juego, pues está relacionado con el algoritmo de Euclides.

Para jugar online  existe una aplicación Java en Cut-The-Knot.

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Llegar a 100

Esta calculadora tiene sólo dos teclas: +5 y ×5.

Cuando se enciende muestra 1 y cuando se pulsa una tecla muestra inmediatamente el resultado de la operación correspondiente.

¿Cuántas teclas, como mínimo, se deben presionar para que aparezca el número 100?

Multiplicación hindú

Se cree que el método de multiplicación hindú fue introducido en Europa por Fibonacci a principios del siglo XIII y consta de una tabla o enrejado que permite calcular de manera sencilla el producto de dos números.

El canal de Academia Play muestra con claridad, en este vídeo, cómo aplicar el método:

Esta técnica de multiplicación se practicaba en la Edad Media en China, India y en el mundo árabe, donde la conoció Fibonacci. Parece ser que todavía se utiliza hoy en Turquía.

Cuatro naturales

Si cuatro números naturales diferentes a, b, c  y d  satisfacen la ecuación

¿cuánto vale la suma a  + b  + c  + d ?

Sumas

Se quiere expresar una suma de trece números naturales, todos distintos entre sí y en orden creciente de valor, de manera que el resultado sea 94.

¿De cuántas maneras puede hacerse?