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La zona verde

Calcula la superficie de la zona verde.

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Dos radios

Los radios de dos círculos concéntricos están en la razón 1:3

AC  es el diámetro del círculo grande, BC  es una cuerda del círculo grande que es tangente al círculo más pequeño y la longitud de la cuerda AB  es 12 cm.

Calcula el radio del círculo grande.

Círculo en sector

Si el cociente entre el radio del sector circular y el radio del círculo inscrito es 3, ¿cuál es el cociente entre sus áreas?

Los círculos de Johnson

El teorema de Johnson dice que dadas tres circunferencias de igual radio con un único punto común O, los puntos donde se cortan dos a dos (A, B y C) determinan otra circunferencia del mismo radio que las anteriores.

Los tres círculos correspondientes a las primeras circunferencias citadas se denominan círculos de Johnson.

En esta página de Geogebra tenéis la demostración y un applet  dinámico.

Del teorema pueden deducirse dos proposiciones:

  • el punto O es el ortocentro del triángulo ABC.
  • el triángulo PRS, formado por los centros de los círculos de Johnson, se llama triángulo de Johnson y su circunferencia circunscrita tiene centro O y es del mismo radio que las otras.

Triángulos acutángulos en un círculo

No me he parado a deducir ni cuestionar su veracidad, pero en MathWorld se afirma que

la probabilidad de que tres puntos cualesquiera de un círculo, tomados al azar, formen un triángulo agudo es

Y… ¿qué probabilidad hay de que tres puntos de una circunferencia, tomados al azar, formen un triángulo acutángulo?: er tipo de matemáticas lo deduce razonadamente.

La mitad de un círculo

El área de una elipse, cuyos semiejes mayor y menor sean de longitudes a  y b, es

Ahora bien, si el semieje menor de la elipse es de longitud igual a la mitad de la de su semieje mayor (b = a/2), el área de dicha elipse es

exactamente la mitad de la superficie de un círculo de radio a

La página matthen lo muestra claramente con esta animación:

El área de un círculo es el doble del área de la elipse que tiene como semiejes el radio del círculo y su mitad