Polígono estrellado


En la figura, a, b, c, d, e  y f son las áreas de las regiones correspondientes y todos esos valores son números naturales diferentes entre sí y menores que 10.

estrella

Cada triángulo formado por tres regiones tiene área par y el área de la estrella completa es 31.

Calcula el valor de f.

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4 Respuestas a “Polígono estrellado

  1. A ver si van por aquí los tiros (aunque no está demasiado demostrado): f es par, porque si fuera impar, alguno de los triángulos pequeños tendría área par y uno de los 5 triángulos formado por tres regiones tendría área impar, llegando a una contradicción. Así, a, b, c, d y e han de ser impares (pues no hay cinco números pares menores que 10). Como 1+3+5+7+9=25, hasta 31, f ha de ser 6.
    Puede probarse que las áreas de los triángulos formados con 3 regiones no pueden ser todas iguales. Probando numéricamente he encontrado una distribución que hace que éstas áreas sean números pares consecutivos: a=1, b=3, c=5, d=7, e=9. (Pero no puedo demostrar que esta distribución u otra distinta sean correctas desde el punto de vista geométrico).
    Espero haberme acercado…

  2. El razonamiento, y la solución, son totalmente correctos.
    Evidentemente las áreas de las zonas, formadas por tres regiones, que se indican no pueden ser todas iguales porque cada región se combina con f y con otras dos de medida distinta: al menos los dos triángulos a los que pertenece una misma región tiene áreas distintas.
    Respecto al último párrafo, imagino que quieres decir ‘números impares’ pero no llego a entender lo que quieres decir.

  3. No, quería decir las áreas de tales triángulos de tres regiones iguales a 12, 14, 16, 18 y 20 respectivamente. a, b, c, d y e son las áreas de los triángulos pequeños.

  4. Entendido

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