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El triángulo del poder: una notación alternativa

Hace poco leí un antiguo artículo de la edición digital de El Mundo que hablaba del triángulo de poder.

Veamos qué significa. En mis años de estudiante y, posteriormente, profesor de Matemáticas siempre me resultó muy curiosa la falta de uniformidad en la nomenclatura aceptada para designar tres elementos de operaciones íntimamente ligadas entre sí: los exponentes, los logaritmos y las raíces. Los tres giran alrededor de la misma idea (los logaritmos obtienen el exponente y las raíces la base de la exponenciación) pero la notación para cada uno varía radicalmente.

Esta es una equivalencia que muestra la íntima relación entre los tres conceptos:

y un ejemplo lo muestra más diáfano:

Estas formas de expresión tan dispares provocan dificultades de comprensión y asimilación de algunos de estos conceptos, con el consecuente rechazo de su estudio, en el alumnado. Todo profesor de Matemáticas lo ha notado en algún momento.

Con algún otro intento de uniformizar esta nomenclatura, en esta página se propuso, a raíz de una pregunta, esta notación alternativa a las tres operaciones:

El ejemplo anterior se escribiría así:

A esta nueva notación se le llama triángulo de poder (por su relación con las potencias: power, en inglés), y permite expresar las tres operaciones de una manera similar.

Para profundizar en este tema, tanto en la última página citada como en el siguiente vídeo se usa el triángulo de poder expresando fórmulas y propiedades conocidas de las tres operaciones.

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Igualdades naturales

Las igualdades

se verifican para los números naturales k, m, n.

¿Qué valores puede tomar m ?

Un 2 radicalizado

Valor simplificado

Halla el valor exacto de

sin usar calculadora.

El 2 y radicales anidados

El número 2 tiene cierta querencia por las raíces anidadas, interviniendo en igualdades tan curiosas como estas:

Y no solo aparece la suma como operación iterada. También el producto en igualdades que pueden generalizarse de manera sencilla, como las correspondientes a cada una de las columnas:

Para acabar, otras dos igualdades tan curiosas como las demás:

Todas ellas y algunas más, así como la justificación de estas igualdades, pueden verse en esta página de Wolfram MathWorld

Simplificación

Simplifica todo lo posible la expresión