La secuencia de Connell

Creamos una sucesión de números naturales de la siguiente manera: empezamos anotando el primer impar, luego los dos siguientes pares, los tres siguientes impares,…. Y así, sucesivamente, formando la sucesión

1, 2, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 14, 16, …

Esta sucesión se llama secuencia de Connell y está referenciada en OEIS.

El término general de esta secuencia viene dado por la expresión

siendo int la función “parte entera”.

Esta expresión permite deducir, de inmediato, que

De otra manera: el término que ocupa el lugar n en la sucesión (para términos de índice lo suficientemente alto)  es un valor muy cercano al doble de n

En esta página de Waterloo se estudia la generalización de secuencias de este tipo  y en esta otra también, así como relaciones con otros tipos de números.

Por ejemplo, escribiendo la secuencia de esta forma:

puede observarse que si

es un número triangular (1, 3, 6, 10, …), se verifica que

Solución al problema «Caramelos y bombones»

Esta es la solución del problema Caramelos y bombones, propuesto en la entrada del día 17 de octubre:

La colonia

Un biólogo que estudia una colonia de aves migratorias hizo las siguientes observaciones a lo largo de un día:

• A mediodía se fueron 30 machos que ya no regresaron, y quedaron en la colonia 2 hembras por cada macho.
• A la tarde se fueron 90 hembras, que ya no regresaron, y quedaron en la colonia 3 machos por cada hembra.

Determina cuántas aves tenía la colonia antes del mediodía.

La poligonal

Una poligonal DEFB, con DE ⊥ EF y EF ⊥ FB, se encuentra dentro del cuadrado ABCD como se muestra en la figura.

Como DE = 5, EF = 1 y FB = 2, ¿cuál es la longitud del lado del cuadrado?

Solución al problema «El desarrollo de un cubo»

Aquí está la solución del problema El desarrollo de un cubo, propuesto en la entrada del día 15 de octubre:

El número de la bestia y la divina proporción

Una sencilla fórmula matemática relaciona a ambos números (prácticamente iguales), el 666 y la razón áurea:

Curiosamente, también se verifica que

Solución al problema «Números 6-buenos»

Tenemos aquí la solución del problema Números 6-buenos, propuesto en la entrada del día 14 de octubre:

Las medidas del rectángulo

Sea ABCD un rectángulo con BC < CD y M, N los puntos medios de los lados BC y CD respectivamente.

Este rectángulo es tal que el triángulo AMN es rectángulo con ^MNA = 90^o.

Si BC = 5, calcula la medida de CD.

Absoluto primo

¿Para qué valores enteros n el número

es primo?

Solución al problema «Dos equiláteros iguales»

Esta es la solución del problema Dos equiláteros iguales, propuesto en la entrada del día 12 de octubre: