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Múltiplos de 3

Hay 105 números escritos en una fila: 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, … (cada número n está escrito exactamente n veces).

¿Cuántos de estos números son divisibles por 3?

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Números perfectos en otras bases

Lista de números perfectos http://www.vaxasoftware.com/

¿Recordais los números perfectos?: según la Wikipedia, un número perfecto es un número natural que es igual a la suma de sus divisores propios positivos, es decir, todos sus divisores (desde 1) menos él mismo.

Se generan a través de la fórmula 2p-1×(2p-1) siempre que p y 2p-1 sean primos.

Los primeros números perfectos son 6, 28, 496, 8128 porque cumplen la definición:

22-1×(22-1)=6=1+2+3
23-1×(23-1)=28=1+2+4+7+14
25-1×(25-1)=496=1+2+4+8+16+31+62+124+248
27-1×(27-1)=8128=1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064

Hasta ahora se han encontrado 50 números perfectos y no ha conseguido demostrarse que su número sea infinito.

En OEIS tenéis definida la sucesión A000396 de números perfectos y abundantes referencias.

Curiosamente, el formato en base binaria de esos números es

  • 6=110(2
  • 28=11100(2
  • 496=111110000(2
  • 8128=1111111000000(2

números formados por p ‘unos’ y p-1 ‘ceros’, debido, evidentemente, a la fórmula que los genera.

Lo que no es tan evidente es su escritura en bases 3 y 4:

  • 6=20(3=12(4
  • 28=1001(3=130(4
  • 496=200101(3=13300(4
  • 8128=102011001(3=1333000(4

que también permite adivinar unos patrones muy evidentes en sus expresiones. ¿Por qué?

En la web Fun With Numb3rs se pueden apreciar las expresiones de más números de la lista de perfectos.

Amigos de 7

Un número natural se dice amigo del 7 si la suma de sus dígitos es un múltiplo de 7.

Por ejemplo, 9156 es amigo del 7 porque 9+1+5+6=21 que es un múltiplo de 7, 223 es amigo del 7 porque 2+2+3=7 que es un múltiplo de 7, y 706 no es amigo del 7 pues 7+0+6=13, que no es múltiplo de 7.

Halla el menor número n que es amigo del 7 y tal que el siguiente amigo del 7 sea n+13, es decir, que n y n+13 son amigos del 7 pero ninguno de los 12 números n+1, n+2, …, n+12 es amigo del 7.

Unos múltiplos de 11

Halla cuántos números enteros positivos de cuatro cifras hay que son múltiplos de 11 y tienen sus dos últimas cifras iguales a 04.

Múltiplos de 5

Consideramos los 2019 números naturales n  desde 1 hasta 2019.

Determina para cuántos de estos valores de n  se verifica que el número n3+3n es múltiplo de 5.

Múltiplos de 11

Con los dígitos 2, 3, 4, 5 y 6 se forman todos los posibles números de cinco cifras distintas.

Halla cuántos de ellos son múltiplos de 11.