Cuatrocientas bolas

Se tienen 400 bolas con los números del 1 al 400, sin repeticiones.

Se colocan las bolas en dos cajas, A y B, con la siguiente condición: si se multiplican los números de todas las bolas de la caja A, el resultado no es múltiplo de 6.

Determina la mayor cantidad de bolas que se puede colocar en la caja A.

La diferencia

Dada una progresión aritmética de términos naturales y diferencia d≠1, si a₁=5² y existen índices j y k tales que a_j=14² y a_k=33² halla la diferencia d.

Divisores de N

Sea N el número de 74 dígitos que se forma al escribir de manera consecutiva los números naturales entre 48 y 84 inclusive. Es decir,

Determina la cantidad de números K=2^a3^b con a y b enteros mayores o iguales a 0 tales que K divide a N.

3 y 7

Determina la cantidad de números naturales menores que 1000 que son múltiplos de 3 y tales que la suma de sus dígitos es múltiplo de 7

Un número concreto

Halla un número entero positivo N tal que la suma de N más su mayor divisor propio sea igual a 933.

Múltiplo de 100

Demuestra que el número es un múltiplo de 100 para cualquier número natural n.

Familias numéricas

Decimos que tres números naturales a, b, c forman una familia si se cumplen las siguientes condiciones:

• a+b+c=900
• existe un natural n≥2 tal a/(n-1)=b/n=c/(n+1) es, también, natural

Halla la cantidad de familias que hay.

Suma de múltiplos

Todos los números naturales menores de 15 y múltiplos de 5 o 7, obtenemos 5, 10, 7 y 14. La suma de todos ellos es 36.

Encuentra la suma de todos los múltiplos de 5 o 7 menores de 1000.

Números exquisitos

Diremos que un número entero positivo n es exquisito si es igual a la multiplicación de todos sus divisores propios, o sea, igual a la multiplicación de todos sus divisores distintos de 1 y de n. Por ejemplo, 35 es exquisito porque sus divisores propios son 5 y 7 y 5×7=35; en cambio 16 no es exquisito porque sus divisores propios son 2, 4 y 8 y 2×4×8≠16.

Halla los doce enteros exquisitos más pequeños.

Los cuelines

Un número es un cuelín si todo par de dígitos consecutivos es un múltiplo de 19 o es un múltiplo de 21.

Por ejemplo, el número 3842 es un cuelín, porque 38=2×19, 84=4×21 y 42=2×21.

Halla todos los números cuelines  de 10 dígitos.