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Puntos visibles

Se consideran los puntos del plano P=(x,y) con sus dos coordenadas enteras. Diremos que P es visible desde O=(0,0) si el segmento OP no contiene otros puntos de coordenadas enteras además de O y P.

Determina cuántos puntos Q de la forma Q=(x,2020) con x entero, 1x≤2020, son visibles desde O.

Número muy grande

Del entero positivo n se sabe que:

  • n no es múltiplo de 5
  • n – 96 es múltiplo de 128
  • n tiene 2001 dígitos
  • todos los dígitos de n son pares
  • la suma de los dígitos de n es 2×2001–4=3998
  • la suma de los cuadrados de los dígitos de n es 4×2001=8004

Halla n.

Números poderosos

Un número es poderoso (powerful number)  si los cuadrados de sus divisores primos también son divisores suyos.

Por ejemplo, 36 es un número poderoso ya que los únicos primos que son divisores suyos son 2 y 3 y  22=4 y 32=9 también son divisores de 36.

La secuencia de números poderosos es la A001694 de OEIS:

1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, …

Curiosamente , existe también, en OEIS, el número de números poderosos menores o iguales que 10n, para n=0, 1, 2, … y es la secuencia A118896:

1, 4, 14, 54, 185, …

Los tres primeros términos de esta última secuencia se pueden obtener fácilmente de la anterior.

Analizando la definición, puede deducirse que

Todo número poderoso es el producto de un cuadrado y de un cubo: p=m2×n3, siendo m y n números naturales.

La afirmación anterior es también otra definición de número poderoso, y se puede ver la demostración de la equivalencia de las dos definiciones en esta página.

Además, la suma de los recíprocos de los números poderosos converge a 1,9435964

También, se puede afirmar que existen infinitos pares de números consecutivos poderosos : (8 , 9), (288 , 289) , (675 , 676 ) , … cuya sencilla demostración puede contemplarse en esta página. En ella también se demuestra que no puede haber cuatro consecutivos poderosos  y se comenta la conjetura de la existencia (o no) de tres consecutivos poderosos.

Otra página que demuestra la infinitud de parejas de consecutivos poderosos es esta.

En la página correspondiente de MathWorld aparecen enumeradas estas propiedades y puede ampliarse la información sobre los números.

Uno de 8 cifras

Sea n  = x54y102z  un número entero de 8 cifras, donde x, y, z  son dígitos.

Se sabe que n  es divisible por 8 y que n  + 1 es divisible por 3 y por 11.

Halla todos los valores posibles de n.

Unos múltiplos de 11

Halla cuántos números enteros positivos de cuatro cifras hay que son múltiplos de 11 y tienen sus dos últimas cifras iguales a 04.

Una cuadrícula con números

En un tablero rectangular de p  filas y q  columnas están escritos todos los números enteros desde el 1 hasta el pq, en orden creciente, comenzando con el 1 en la casilla superior izquierda y terminando con pq en la casilla inferior derecha.

Se sabe que 95 está en la tercera fila, 987 está en la vigésimo primera fila (es decir, en la fila número 21) y 1999 está en la última fila.

Halla las dimensiones p  y q  del tablero.