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Jugando con Phi

Desde Twitter Diego Rattaggi, con el hastag  #matheratti, nos muestra diversas curiosidades matemáticas.

Entre ellas este cuadrado descompuesto en nueve cuadrados y rectángulos cuyos lados y superficies se muestran en la imagen, estando todas las medidas relacionadas con el número aúreo  ɸ.

Si sumamos las áreas, izquierda a derecha y de arriba abajo, resulta que

igual, naturalmente, a la superficie total

Ya que el número aúreo cumple que

Infinite patterns

Cristóbal Vila vuelve a maravillarnos con un nuevo vídeo, envuelto en la música de  Cedric Baravaglio (Heart Beat), que pretende ser la fusión de los intereses de dos trabajos anteriores: Nature by Numbers y Ars Qubica.

El subtítulo que lo acompaña, conectando geometría naturaleza y arquitectura, declara su contenido.

Como con otros vídeos anteriores, autor muestra el proceso de creación del vídeo y detalla minuciosamente los conceptos, y sus fundamentos teóricos, que se aplican. Todo ello en esta página.

Es imprescindible verlo con gran atención para no perderse ningún detalle, y se aconseja haber leído y visto previamente todas las explicaciones citadas.

Las esculturas cinéticas de Ivan Black

Ivan Black es un escultor británico, nacido en 1972, que es conocido, sobre todo, por crear estructuras  a partir de fórmulas matemáticas e inspiradas en elementos de la naturaleza. Estas estructuras pueden “cambiar” de forma gracias al movimiento.

Sus trabajos se han exhibido por todo el mundo y, como muestra de sus obras, basta ver dos:

En 2017 expuso en MADGallery (Mechanical Art Devices) una colección limitada de la serie Nebula Hive de 18 piezas pulidas a mano y niqueladas.

Otra estructura cinética interactiva es la llamada Square Wave, que la crea inspirándose en la sucesión de Fibonacci y produce fascinantes ilusiones ópticas cuando gira. Se compone de 21 varillas de metal que se doblan y cambian con la interacción humana.

En esta página, que contiene unas cuantas imágenes animadas, se comenta con un poco más detalle esta obra.

Para admirar sus trabajos se puede entrar su página personal o en su página de Facebook.

De Motzkin a Fibonacci

Definíamos el otro día los números de Motzkin, que formaban la serie A001006 de OEIS:

1, 1, 2, 4, 9, 21, 51, 127, 323, 835, 2188, 5798, 15511, …

Según un estudio de Toni Foster, psicólogo texano, existe una íntima relación entre esta serie y la de Fibonacci

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …

que vamos a mostrar aquí:

1) Desde la serie de números de Motzkin, {mi ; i=0,1,2,3,…} construimos una nueva serie a partir de la expresión ni = 2mi + mi+1 ; i=0,1,2,3,…:

n0 = 2m0 + m1 = 2×1 + 1 = 3 ;
n1 = 2m1 + m2 = 2×1 + 2 = 4 ;
n2 = 2m2 + m3 = 2×2 + 4 = 8 ; …

obteniéndose la serie 3, 4, 8, 17, 39, 93, 229, …

2) Calculamos los determinantes de las sucesivas matrices de Hankel de orden k construidas tomando los 2k-1 primeros términos de esa última serie, obteniendo

que son los números de Fibonacci situados en la serie en la posición 2k+2

Biomímesis: biogeometría

Excelente documental, emitido por el segundo canal de RTVE,  que plantea la evolución de animales y plantas según unas reglas geométricas, como las que rigen el crecimiento espiral de una concha.

Fractales de la palabra de Fibonacci

Hace unos días, hablando de la palabra de Fibonacci, decíamos que “como cada palabra está subsumida en las todas posteriores, se puede intuir una interpretación fractal  de la palabra de Fibonacci”.

Definiamos, por concatenación, la sucesión

P(1)=0, P(2)=01 y P(n) = P(n-1)P(n-2) para cualquier n≥3 natural

dando lugar a la sucesión de términos

0, 01, 010, 01001, 01001010, 0100101001001, …

siendo el límite la llamada palabra (infinita) de Fibonacci.

Y, efectivamente, aparece una curva fractal asociada que se construye de manera iterativa aplicando a la palabra de Fibonacci la regla de dibujo impar-par para cada dígito en la posición k:

  • si el dígito es 0, se dibuja un segmento en la dirección actual
  • si el dígito es 1, se dibuje un segmento después de un ángulo de giro de 90°
    • a la derecha si k es par
    • a la izquierda si k es impar

Esta curva se llama Fractal de la palabra de Fibonacci.

Si se permutan las condiciones de los caracteres 0 y 1 se obtiene este otro bonito fractal:

Se ha usado la página https://pencilcode.net/, que permite ejecutar un lenguaje JavaScript con Logo para dibujar ambos tipos de fractales.

Entrad en esta dirección

https://chemari.pencilcode.net/home/fwf

y elegid el origen de dibujo en pantalla (0,0 es el centro de la pantalla), orden de palabra en la sucesión, la longitud del segmento y el tipo de fractal. Construiréis ambos a vuestro gusto hasta un nivel razonable.

Otros fractales pueden construirse a partir de variaciones de las condiciones de iteración, como puede verse en esta galería.