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Las esculturas cinéticas de Ivan Black

Ivan Black es un escultor británico, nacido en 1972, que es conocido, sobre todo, por crear estructuras  a partir de fórmulas matemáticas e inspiradas en elementos de la naturaleza. Estas estructuras pueden “cambiar” de forma gracias al movimiento.

Sus trabajos se han exhibido por todo el mundo y, como muestra de sus obras, basta ver dos:

En 2017 expuso en MADGallery (Mechanical Art Devices) una colección limitada de la serie Nebula Hive de 18 piezas pulidas a mano y niqueladas.

Otra estructura cinética interactiva es la llamada Square Wave, que la crea inspirándose en la sucesión de Fibonacci y produce fascinantes ilusiones ópticas cuando gira. Se compone de 21 varillas de metal que se doblan y cambian con la interacción humana.

En esta página, que contiene unas cuantas imágenes animadas, se comenta con un poco más detalle esta obra.

Para admirar sus trabajos se puede entrar su página personal o en su página de Facebook.

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De Motzkin a Fibonacci

Definíamos el otro día los números de Motzkin, que formaban la serie A001006 de OEIS:

1, 1, 2, 4, 9, 21, 51, 127, 323, 835, 2188, 5798, 15511, …

Según un estudio de Toni Foster, psicólogo texano, existe una íntima relación entre esta serie y la de Fibonacci

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …

que vamos a mostrar aquí:

1) Desde la serie de números de Motzkin, {mi ; i=0,1,2,3,…} construimos una nueva serie a partir de la expresión ni = 2mi + mi+1 ; i=0,1,2,3,…:

n0 = 2m0 + m1 = 2×1 + 1 = 3 ;
n1 = 2m1 + m2 = 2×1 + 2 = 4 ;
n2 = 2m2 + m3 = 2×2 + 4 = 8 ; …

obteniéndose la serie 3, 4, 8, 17, 39, 93, 229, …

2) Calculamos los determinantes de las sucesivas matrices de Hankel de orden k construidas tomando los 2k-1 primeros términos de esa última serie, obteniendo

que son los números de Fibonacci situados en la serie en la posición 2k+2

Biomímesis: biogeometría

Excelente documental, emitido por el segundo canal de RTVE,  que plantea la evolución de animales y plantas según unas reglas geométricas, como las que rigen el crecimiento espiral de una concha.

Fractales de la palabra de Fibonacci

Hace unos días, hablando de la palabra de Fibonacci, decíamos que “como cada palabra está subsumida en las todas posteriores, se puede intuir una interpretación fractal  de la palabra de Fibonacci”.

Definiamos, por concatenación, la sucesión

P(1)=0, P(2)=01 y P(n) = P(n-1)P(n-2) para cualquier n≥3 natural

dando lugar a la sucesión de términos

0, 01, 010, 01001, 01001010, 0100101001001, …

siendo el límite la llamada palabra (infinita) de Fibonacci.

Y, efectivamente, aparece una curva fractal asociada que se construye de manera iterativa aplicando a la palabra de Fibonacci la regla de dibujo impar-par para cada dígito en la posición k:

  • si el dígito es 0, se dibuja un segmento en la dirección actual
  • si el dígito es 1, se dibuje un segmento después de un ángulo de giro de 90°
    • a la derecha si k es par
    • a la izquierda si k es impar

Esta curva se llama Fractal de la palabra de Fibonacci.

Si se permutan las condiciones de los caracteres 0 y 1 se obtiene este otro bonito fractal:

Se ha usado la página https://pencilcode.net/, que permite ejecutar un lenguaje JavaScript con Logo para dibujar ambos tipos de fractales.

Entrad en esta dirección

https://chemari.pencilcode.net/home/fwf

y elegid el origen de dibujo en pantalla (0,0 es el centro de la pantalla), orden de palabra en la sucesión, la longitud del segmento y el tipo de fractal. Construiréis ambos a vuestro gusto hasta un nivel razonable.

Otros fractales pueden construirse a partir de variaciones de las condiciones de iteración, como puede verse en esta galería.

Palabra de Fibonacci

Uno de los conceptos matemáticos más conocidos, y protagonista habitual de artículos divulgativos, es la sucesión de Fibonacci, generadora de la razón aúrea y presente en diferentes contextos en la vida real.

Recordemos, por si hiciera falta, como se construye:

Dados dos valores iniciales F(1) = 0 y F(2) = 1, se forman los siguientes de la sucesión mediante la suma de sus dos anteriores:

F(n) = F(n-1) + F(n-2)

dando lugar a la sucesión

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …

Observemos una interpretación gráfica (de muchas) de esta sucesión: la espiral de Fibonacci, que es una aproximación a la espiral dorada.

En base a la construcción de esta sucesión se definen otras series y conceptos, variando valores de términos iniciales o usando elementos y operaciones con cierta analogía.

Una de las interesantes definiciones, en este contexto, es la palabra de Fibonacci.

El concepto aparece a partir de la creación de una serie con cadenas de dígitos binarios y la concatenación de dichas cadenas como operación: definimos dos valores iniciales

P(1) = 0 y P(2) = 01

y construimos los siguientes elementos de la serie mediante la concatenación de sus dos anteriores:

P(n) = P(n-1)P(n-2)

dando lugar a la sucesión de términos

0, 01, 010, 01001, 01001010, 0100101001001, …

que llamamos palabras binarias, y cuyas longitudes (número de dígitos) siguen la sucesión de Fibonacci.

Pues bien, el término límite es la llamada palabra (infinita) de Fibonacci, cuyos elementos (dígitos) forman la secuencia A003849 en OEIS.

Observando los términos, si eliminamos sus dos últimos dígitos obtenemos siempre una palabra capicúa o palindrómica.

Como cada palabra está subsumida en las todas posteriores, se puede intuir una interpretación fractal  de la palabra de Fibonacci.

Razones metálicas

Espectacular vídeo de Numberphile con subtítulos en castellano.

A partir de la sucesión de Fibonacci se obtiene la razón aúrea, valor al que tiende el cociente entre dos términos consecutivos de la sucesión.

Si definimos otras sucesiones, creadas de manera similar a la anterior, en las que cada término es el producto del precedente por una constante más el anterior a este último obtenemos la razón de plata (constante 2, que da lugar a los números de Pell), la razón de bronce (constante 3),… y toda una serie de razones metálicas que llevan asociadas sus correspondientes espirales metálicas, todas de tipo logarítmico y de propiedades muy interesantes.

El vídeo, en donde se detallan todos los conceptos indicados y con ejemplos de la vida real, es un excelente principio para revisar exhaustivamente esas sucesiones.