Pascal y las tangentes

Otro resultado, de los muchos, encontrado en relación al triángulo de Pascal.

Recordamos que

Si desarrollamos la tangente del ángulo triple tenemos que

Seguimos:

Y, como otro ejemplo añadido,

Quienes estéis familiarizados con el triángulo de Pascal

observaréis que los coeficientes (alternándose en numerador y denominador) siguen la pauta exacta de la fila correspondiente de triángulo.

Podemos escribir perfectamente que

relacionando el famoso triángulo, la combinatoria y las tangentes trigonométricas de los múltiplos de un ángulo cualquiera.

Esta entrada está basada en una página de Frank C. Fung, en la que puede ampliarse el conocimiento de los conceptos que se citan.

Cifras decrecientes

Se escribe la lista de todos los números naturales entre 100 y 999, ambos incluidos, tales que sus cifras decrecen de izquierda a derecha.

Por ejemplo, 421 y 970 están en la lista, pero 733 y 994 no figuran en su lista.

Calcula la cantidad de números que tiene la lista.

Tríos

Sea A el conjunto de todos los números enteros desde 1 hasta 300 inclusive.

Consideramos todos los tríos que se pueden formar utilizando tres números distintos de A y, para cada trío, calculamos su suma.

Determina para cuántos de estos tríos la suma es múltiplo de 3.

Tríos de números

Aurora debe elegir tres números enteros distintos entre 1 y 20 inclusive, dados en cualquier orden y tales que la multiplicación de los tres números sea múltiplo de 4.

Determina de cuántas maneras puede hacer su elección.

Pesando con la balanza

En una balanza se colocan al azar tres pesos en cada platillo, que queda desequilibrada. La figura muestra lo que sucede. Los pesos eran de 101, 102, 103, 104, 105 y 106 gramos.

¿Cuál es la probabilidad de que el peso de 106 gramos esté en el platillo que pesa más?

Suma de dígitos

Teresa debe elegir tres números distintos entre 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 de modo que la suma de los tres elegidos sea un número par.

Determina de cuántas maneras puede hacer su elección.

De 1 a 40

Se toman todos los números del 1 al 40 y se coloca cada uno, al azar, en una de 16 listas prefijadas.

Halla la probabilidad de que la quinta lista contenga, exactamente, 8 de esos números.

Pi y el triángulo de Pascal

Un ingeniero estadounidense, Daniel Hardisky, descubrió que el número π se encuentra en el triángulo de Pascal .

Concretamente, usando la serie de los números coloreados del triángulo

planteó la igualdad

que relaciona el triángulo de Pascal y el número π.

Esta expresión es una variación de la dada por el matemático indio  Nilakantha Somayaji:

Haciendo

se obtiene la expresión que propuso Hardisky.

Sumas de potencias

Macarena escribió todos los números enteros positivos menores que 2020 que son potencia de 3 o son suma de potencias de 3, todas con distintos exponentes enteros no negativos.

Halla la cantidad de números que escribió Macarena.

Equipos de mellizos

Hay 12 personas que son, en realidad, 6 pares de mellizos.

¿Cuántos equipos de 4 integrantes cada uno pueden formarse de modo que ningún equipo contenga a dos hermanos mellizos?