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Superficie azul

La altura del trapecio rectángulo ABCD  de la figura mide 6 cm.

Si M  es el punto medio de BC, ¿cuál es el área de la región azul?

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La superficie roja

En el rectángulo de la figura, la longitud AB es doble de la BC, DE= 6 cm. y EC = 12 cm. ¿Cuánto vale el área roja?

Triángulos heronianos

Herón de Alejandría fue un matemático griego del siglo I de la era actual, reconocido ingeniero e inventor y famoso por su conocida fórmula de Herón, que determina la superficie de cualquier triángulo en función de sus lados:

siendo s  el semiperímetro del triángulo, de lados a, b  y c

Un triángulo heroniano o de Herón es aquel en el que son números naturales tanto los valores de sus lados como el valor de su superficie, medida en las mismas unidades que los lados. El triángulo de Herón  se llama primitivo  si el máximo común divisor de las longitudes de sus lados es la unidad.

Cualquier triángulo rectángulo cuyos lados sean ternas pitagóricas es, por supuesto, de Herón ya que la superficie es la mitad del producto de sus catetos y uno de ellos, al menos, es par.

Así mismo, si construimos triángulos isósceles uniendo dos triángulos iguales de los anteriores por uno de sus catetos, los nuevos también son de Herón.

Euler encontró una generalización para las posibles longitudes de lados de los triángulos de Herón:

Dados

se verifica que las longitudes

son los lados de un triángulo de Herón.

En efecto, el semiperímetro es

y la superficie es

A través de http://mathworld.wolfram.com/HeronianTriangle.html podemos acceder a diversas series de OEIS basadas en los lados y/o las superficies de estos triángulos

Y aquí se muestra una curiosa serie de triángulos de Herón cuyos lados son de valores consecutivos:

El parque Diversión

El parque Diversión es un triángulo XYZ  limitado por tres caminos rectos: r1 , r2  y r3

El zoológico es un cuadrado ABCD  cuyo lado CD  está situado sobre el camino r3, la esquina A  está en el camino r1 y la esquina B  en el camino r2

Si el zoológico ocupa 7/32 de la superficie de todo el parque Diversión, ¿cuál es la proporción entre las longitudes XA  y XY ?

Proporción entre áreas

A un cuadrado se le añaden, adosados a cada lado, triángulos equiláteros de lado igual al del cuadrado formando una estrella de cuatro puntas.

Posteriormente se unen los cuatro vértices de la estrella formando otro cuadrado.

¿Cuál es la proporción entre las áreas de la estrella y de este último cuadrado?