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El área del paralelogramo

Desde un vértice de un paralelogramo, de lados 16 cm y 12 cm, se trazan las perpendiculares a los lados opuestos. El ángulo agudo entre esas perpendiculares es de 60o

¿Cuál es, en cm2, el área del paralelogramo?

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Ángulo en el cuadrilátero

Sea ABCD un cuadrilátero de lados ABBCCD  y DA, tal que AB  = ACAD  = BD y ADB  = 30o + BAC.

Calcula la medida del ángulo CBD.

Una superficie triangular

Sea ABCD  un paralelogramo de lados ABBCCD  y DA.

Se traza por D  una recta que corta al lado BC  en P  y a la prolongación del lado AB  en Q.

Si el área del cuadrilátero ABDP  es 29 y el área del triángulo DPC  es 8, halla el área del triángulo CPQ.

Un rombo en un rectángulo

Sea ABCD  un rectángulo con AB = 30 cm y BC = 16 cm.

Si E  y F  son puntos, respectivamente, en los lados AB  y CD  tales que el cuadrilátero AFCE  es un rombo, calcula la medida de EF.

Un corolario del teorema de Ptolomeo

El teorema de Ptolomeo dice que

En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia, la suma de los productos de los pares de lados opuestos es igual al producto de sus diagonales.

Si se observa la imagen adjunta, el teorema dice que

a.c+b.d=e.f

y aquí está la demostración.

Una consecuencia inmediata de este teorema es este curioso resultado:

Dado un triángulo equilátero inscrito en un círculo y un punto P del círculo, la distancia desde el punto al vértice más distante del triángulo es igual a la suma de las distancias desde el punto a los dos vértices más cercanos.

Esto es, según la imagen adjunta,

p=m+n

La demostración es muy sencilla: aplicando el teorema de Ptolomeo al cuadrilátero ABPC, se cumple que

a.m+a.n=a.p

y, simplificando la igualdad, obtenemos el resultado esperado.