La suma de los diámetros

Sean a y b los catetos de un triángulo rectángulo.

¿Cuál es el valor de la suma de los diámetros de las circunferencias inscrita y circunscrita al triángulo en función de los catetos?

Números de Smith

Un número de Smith es cualquier entero positivo tal que la suma de sus dígitos es igual a la suma de los dígitos que aparecen en su descomposición factorial, escribiendo en ésta los factores no triviales y tantas veces como estén.

Pueden definirse de la misma manera para cualquier base de numeración, aunque aquí nos limitaremos a números decimales.

El número 4 es el primer número de Smith pues 4 = 2 x 2 y 4 = 2 + 2; 666 es otro número de Smith pues  666 = 2 x 3 x 3 x 37 y 6 + 6 + 6 = 2 + 3 + 3 + 3 + 7

Aquí están los primeros números de Smith:

Estos números se conocen así porque un matemático, en 1982, descubrió que el número de teléfono su cuñado, apellidado Smith, cumplía esa propiedad. El número es el 4937775. Podéis comprobarlo.

Ese número era el más grande conocido durante un breve tiempo. En años sucesivos se descubrieron variadas formas de obtener números de Smith. Por ejemplo,  si p es un número primo repunit entonces 2170 x p es un número de Smith:

Si p = 11,
2170 x p =2170 x 11 = 23870 = 2 x 5 x 7 x 11 x 31
y 2 + 3 + 8 + 7 + 0 = 2 + 5 + 7 + 1 + 1 + 3 + 1

Esto permite afirmar que existen infinitos números de Smith.

En Gaussianos podéis saber mucho más de estos números.

Compraventa de coches

Andrés se dedica a la compraventa de coches de segunda mano.

En una operación compra dos coches y los vende, ambos, por 9999 € cada uno.

En uno de ellos ha ganado el 10% y en el otro ha perdido el 10%.

¿Cómo le ha ido la operación?

Una bolsa de bolas

En una bolsa tenemos 17 bolas numeradas de 1 al 17.

Si elegimos algunas de ellas al azar, ¿cuál es el menor número de bolas que debemos elegir para garantizar que la selección contiene al menos un par de bolas cuyos números sumen 18?

¿Pi es 4?

¿?

Uno de valores absolutos

Halla el área de la región encerrada por la curva formada por los puntos (x , y) tales que |x – 1| + |y – 1| = 1

Desarrollo de un cubo

¿Cuál de los siguientes cubos se puede formar con el desarrollo de la figura adjunta?

La espiral de Ulam

El matemático polaco Stanislaw Ulam  (1909-1986) asistía, en 1963, a una charla científica y se estaba aburriendo. Para distraerse dispuso, sobre un papel, los números en espiral y los fue señalando los primos como se ve en la imagen.

Comprobó que, curiosamente, los primos se alineaban con cierta preferencia en algunas líneas diagonales de la disposición. Se observa en la imagen de la derecha a partir de la de la izquierda, en la que se han señalado los números primos con puntos:

Ese patrón, inesperado y sorprendente, le hizo intuir que los números primos no se distribuyen, a lo largo de los números naturales, tan aleatoriamente como parece.

Observemos, con un mapa mucho más grande, cómo se distribuyen los primos según esta espiral y confirmamos la conjetura de que existen rectas (con su correspondiente ecuación algebraica)  en los que los números primos se presentan con una abundancia inusual.

A partir de esta espiral han surgido otras similares como la espiral de Sacks  a partir de la disposición de los números según la espiral de Arquímedes, en la que también aparecen remarcadas líneas (en este caso parábolas) que determinan conjuntos con abundancia significativa de primos.

Los chicos de Numberphile nos cuentan todo esto de manera muy clara (pulsad en el botón de subítulos si no salen en castellano):

Para comprobar experimentalmente todo lo que se cuenta aquí, tenéis esta aplicación interactiva que os lo permite.

Coseno de la diferencia

Si sen a+sen b=4/3 y cos a+cos b=1, ¿cuál es el valor de cos (a–b)?

La edad de la dama

Una persona le pregunta a una dama cuántos años tiene.

La dama le contesta: “Si viviera 100 años, mi edad ahora sería los cuatro tercios de la mitad de los años que me quedarían  por vivir”

¿Cuál es la edad de la dama?