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Números raros

Un número natural a de tres cifras es raro si existe otro b de dos cifras tal que al dividir a por b el resto es igual a la quinta potencia del cociente.

Por ejemlo, 100 es raro porque al dividirlo por 99, el cociente es 1 y el resto es 1=15.

¿Cuántos números raros hay de tres cifras?

Cuadrados perfectos

En la siguiente tabla las casillas de la primera fila contienen los números enteros del 1 al 13.

Hay que escribir en la segunda fila los números enteros de 1 a 13, sin repeticiones, y en la tercera fila la suma de los números correspondientes a la primera y segunda fila de forma que los números de la tercera fila sean todos cuadrados perfectos.

Un gran número

Sea x el menor entero positivo que satisface simultáneamente que 2x es el cuadrado de un entero, 3x es el cubo de un entero y 5x es la potencia quinta de un entero.

Halla x.

Imagen

La elegante simetría de las potencias

Las tres últimas cifras

Halla las tres últimas cifras del número

Cuadrado con factoriales

Sea el número que se obtiene al multiplicar los factoriales de los primeros 2008 enteros positivos:

Halla uno de estos factoriales tal que, eliminándolo, la multiplicación de los 2007 factoriales restantes sea un cuadrado perfecto.