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Patrones geométricos en las potencias

En mathrecreation hay un estudio sobre los patrones secuenciales que determinan los últimos dígitos de las sucesivas potencias de los números naturales con exponente natural.

En ese artículo se plasman, en grafos, los patrones cíclicos que determinan algunos ejemplos del estudio… y me acordé de los artículos publicados en esta web sobre los primversos.

Realizando un trabajo similar sobre la misma “rueda de dígitos” (con un pequeño giro), he representado gráficamente los patrones cíclicos que determinan los últimos dígitos de las sucesivas potencias de los diez dígitos del sistema decimal… y ha aparecido esto:

Recuerda a los patrones de los primversos  y, lo más importante, muestra asombrosas simetrías dentro de los propios gráficos y al relacionarlos de dos en dos.

Otro argumento más para justificar la belleza y la magia de las Matemáticas.

Cinco barbaridades bastante comunes en Matemáticas

Cinco despropósitos matemáticos son bastante usuales en las aulas y fuera de ellas.

Al conocer desde la infancia, al menos de manera intuitiva, la propiedad distributiva del producto respecto de la suma, mucha gente la extiende a cualquier situación en la que aparezca la suma y otra operación o una función.

Aquí van las barbaridades matemáticas, de las que se puede comprobar su falsedad sin más que sustituir las variables por números concretos y calcular, aunque puede haber excepciones en algunos ejemplos.

Igualdad falsa. Si en vez de la suma fuera el producto tendríamos una igualdad cierta pues

Lo cierto es que el cuadrado de la suma es

Otra igualdad que no es cierta,

y podemos decir lo mismo del caso anterior. Usando el producto sí es cierto que

Tercera igualdad falsa:

Como en los casos anteriores, si en vez de la suma usamos el producto se verifica una igualdad cierta:

Como la operación logarítmica es la inversa de la función exponencial, vista en el punto anterior, puede deducirse también que esta afirmación es falsa:

Lo cierto es que, usando el producto en vez de la suma, se cumple que

Y,por último, otra falsa:

Además, en este caso, la que es cierta no tiene nada que ver con la anterior pues en realidad se cumple que

Y podemos contar lo mismo de las otras razones trigonométricas.

Otras muchas ‘meteduras de pata’ hay con las propiedades de operaciones y funciones pero podemos destacar que, con diferencia, estas son las más usuales.

La última cifra

Halla la última cifra de

Entre uno y un millón

¿Cuántos números naturales n, entre 1 y 1000000, verifican que el número

es múltiplo de 5?

Media de tres

Si

¿cuál es la media aritmética de a, b  y c ?