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Base más exponente

Sean y n  dos números naturales tales que n  > 1 y mn = 225×340

Halla

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La suma de los n primeros cuadrados naturales

La suma de los cuadrados de los n primeros números naturales se obtiene con la fórmula

cuya demostración detallada puede verse en lasmatematicas.eu

Una deducción gráfica de la fórmula muy interesante se muestra en este vídeo:

Aunque está en inglés, se sigue perfectamente.

Suma de factoriales

Halla el mayor número natural n  para el que 5n es divisor del número

Cálculo rápido de potencias de 2

Aprovechando que el valor de la décima potencia de 2 es aproximadamente la tercera potencia de 10,

210 = 1024 ≈ 1000 = 103

podemos establecer una fórmula para calcular rápidamente una aproximación bastante sólida a cualquier potencia de 2.

Por ejemplo, aplicando las propiedades de las potencias,

243 = 23 × 240 = 23 × (210)4 ≈ 23 × (103)4 = 23 × 1012 = 8.000.000.000.000

y así, en general, puede obtenerse de manera rápida el valor aproximado:

La conjetura de Catalan

La doctora Dra. Holly Krieger, a través del conocido canal de Numberphile, explica la conjetura de Catalan, ya demostrada en la década pasada por el matemático rumano Preda Mihailescu, y muestra una demostración elemental de una parte que acota el problema.

Esta conjetura, debida al matemático belga-francés Eugène Charles Catalan, plantea que

hay una única solución de la ecuación xa – yb = 1 para potencias de base y exponente naturales

Esa solución es, precisamente, 32 – 23 = 1

Con subtítulos en castellano.

PD.- Evidentemente, al estar demostrada ya no es una conjetura, aunque no ha perdido ese nombre y se le identifica así.