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¿Para qué sirven los logaritmos?

Volvemos a presentar otro vídeo del canal Derivando de Eduardo Sáenz de Cabezón.

En este vídeo nos explica claramente qué significan los logaritmos y en que ámbitos del mundo real aparecen y, en algunos casos, por qué aparecen: desde mundos bancarios (cálculo de intereses) hasta geológicos (escalas de terremotos), pasando por variados campos del conocimiento.

Como todos los vídeos de este canal, interesantísimo.

 

Suma de logaritmos

Calcula la suma

Asombrosa demostración

De @capesounds

da¿Dónde está el error?

El triángulo del poder: una notación alternativa

Hace poco leí un antiguo artículo de la edición digital de El Mundo que hablaba del triángulo de poder.

Veamos qué significa. En mis años de estudiante y, posteriormente, profesor de Matemáticas siempre me resultó muy curiosa la falta de uniformidad en la nomenclatura aceptada para designar tres elementos de operaciones íntimamente ligadas entre sí: los exponentes, los logaritmos y las raíces. Los tres giran alrededor de la misma idea (los logaritmos obtienen el exponente y las raíces la base de la exponenciación) pero la notación para cada uno varía radicalmente.

Esta es una equivalencia que muestra la íntima relación entre los tres conceptos:

y un ejemplo lo muestra más diáfano:

Estas formas de expresión tan dispares provocan dificultades de comprensión y asimilación de algunos de estos conceptos, con el consecuente rechazo de su estudio, en el alumnado. Todo profesor de Matemáticas lo ha notado en algún momento.

Con algún otro intento de uniformizar esta nomenclatura, en esta página se propuso, a raíz de una pregunta, esta notación alternativa a las tres operaciones:

El ejemplo anterior se escribiría así:

A esta nueva notación se le llama triángulo de poder (por su relación con las potencias: power, en inglés), y permite expresar las tres operaciones de una manera similar.

Para profundizar en este tema, tanto en la última página citada como en el siguiente vídeo se usa el triángulo de poder expresando fórmulas y propiedades conocidas de las tres operaciones.

¿Para qué sirven los logaritmos?

Como dice Victoria Alfonsea (presentadora del vídeo), de los logaritmos se ha hablado mucho y, más o menos, sabemos qué son.

La cuestión es, ahora, saber para qué sirven.

En este vídeo, Victoria habla de las dos maneras en las que aparece este concepto: su uso directo en cálculos y en las escalas logarítmicas, utilizadas habitualmente en diversos aspectos de la vida cotidiana.

Razones metálicas

Espectacular vídeo de Numberphile con subtítulos en castellano.

A partir de la sucesión de Fibonacci se obtiene la razón aúrea, valor al que tiende el cociente entre dos términos consecutivos de la sucesión.

Si definimos otras sucesiones, creadas de manera similar a la anterior, en las que cada término es el producto del precedente por una constante más el anterior a este último obtenemos la razón de plata (constante 2, que da lugar a los números de Pell), la razón de bronce (constante 3),… y toda una serie de razones metálicas que llevan asociadas sus correspondientes espirales metálicas, todas de tipo logarítmico y de propiedades muy interesantes.

El vídeo, en donde se detallan todos los conceptos indicados y con ejemplos de la vida real, es un excelente principio para revisar exhaustivamente esas sucesiones.

Un logaritmo

Si a, b  y c  son números positivos tales que b = a30 y c = a42,  ¿cuánto vale logb c ?

Enormes números

Calcula el valor de

Relación logarítmica

Si

siendo a  y b  no nulos y distintos de la unidad, ¿qué relación tienen ambos números?

Cinco barbaridades bastante comunes en Matemáticas

Cinco despropósitos matemáticos son bastante usuales en las aulas y fuera de ellas.

Al conocer desde la infancia, al menos de manera intuitiva, la propiedad distributiva del producto respecto de la suma, mucha gente la extiende a cualquier situación en la que aparezca la suma y otra operación o una función.

Aquí van las barbaridades matemáticas, de las que se puede comprobar su falsedad sin más que sustituir las variables por números concretos y calcular, aunque puede haber excepciones en algunos ejemplos.

Igualdad falsa. Si en vez de la suma fuera el producto tendríamos una igualdad cierta pues

Lo cierto es que el cuadrado de la suma es

Otra igualdad que no es cierta,

y podemos decir lo mismo del caso anterior. Usando el producto sí es cierto que

Tercera igualdad falsa:

Como en los casos anteriores, si en vez de la suma usamos el producto se verifica una igualdad cierta:

Como la operación logarítmica es la inversa de la función exponencial, vista en el punto anterior, puede deducirse también que esta afirmación es falsa:

Lo cierto es que, usando el producto en vez de la suma, se cumple que

Y,por último, otra falsa:

Además, en este caso, la que es cierta no tiene nada que ver con la anterior pues en realidad se cumple que

Y podemos contar lo mismo de las otras razones trigonométricas.

Otras muchas ‘meteduras de pata’ hay con las propiedades de operaciones y funciones pero podemos destacar que, con diferencia, estas son las más usuales.