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El triángulo del poder: una notación alternativa

Hace poco leí un antiguo artículo de la edición digital de El Mundo que hablaba del triángulo de poder.

Veamos qué significa. En mis años de estudiante y, posteriormente, profesor de Matemáticas siempre me resultó muy curiosa la falta de uniformidad en la nomenclatura aceptada para designar tres elementos de operaciones íntimamente ligadas entre sí: los exponentes, los logaritmos y las raíces. Los tres giran alrededor de la misma idea (los logaritmos obtienen el exponente y las raíces la base de la exponenciación) pero la notación para cada uno varía radicalmente.

Esta es una equivalencia que muestra la íntima relación entre los tres conceptos:

y un ejemplo lo muestra más diáfano:

Estas formas de expresión tan dispares provocan dificultades de comprensión y asimilación de algunos de estos conceptos, con el consecuente rechazo de su estudio, en el alumnado. Todo profesor de Matemáticas lo ha notado en algún momento.

Con algún otro intento de uniformizar esta nomenclatura, en esta página se propuso, a raíz de una pregunta, esta notación alternativa a las tres operaciones:

El ejemplo anterior se escribiría así:

A esta nueva notación se le llama triángulo de poder (por su relación con las potencias: power, en inglés), y permite expresar las tres operaciones de una manera similar.

Para profundizar en este tema, tanto en la última página citada como en el siguiente vídeo se usa el triángulo de poder expresando fórmulas y propiedades conocidas de las tres operaciones.

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¿Para qué sirven los logaritmos?

Como dice Victoria Alfonsea (presentadora del vídeo), de los logaritmos se ha hablado mucho y, más o menos, sabemos qué son.

La cuestión es, ahora, saber para qué sirven.

En este vídeo, Victoria habla de las dos maneras en las que aparece este concepto: su uso directo en cálculos y en las escalas logarítmicas, utilizadas habitualmente en diversos aspectos de la vida cotidiana.

Razones metálicas

Espectacular vídeo de Numberphile con subtítulos en castellano.

A partir de la sucesión de Fibonacci se obtiene la razón aúrea, valor al que tiende el cociente entre dos términos consecutivos de la sucesión.

Si definimos otras sucesiones, creadas de manera similar a la anterior, en las que cada término es el producto del precedente por una constante más el anterior a este último obtenemos la razón de plata (constante 2, que da lugar a los números de Pell), la razón de bronce (constante 3),… y toda una serie de razones metálicas que llevan asociadas sus correspondientes espirales metálicas, todas de tipo logarítmico y de propiedades muy interesantes.

El vídeo, en donde se detallan todos los conceptos indicados y con ejemplos de la vida real, es un excelente principio para revisar exhaustivamente esas sucesiones.

Un logaritmo

Si a, b  y c  son números positivos tales que b = a30 y c = a42,  ¿cuánto vale logb c ?

Enormes números

Calcula el valor de

Relación logarítmica

Si

siendo a  y b  no nulos y distintos de la unidad, ¿qué relación tienen ambos números?