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Múltiplos de 7

Dos números naturales consecutivos son tales que la suma de las cifras de ambos son múltiplos de 7. ¿Cuál es la menor cantidad de cifras que posee el más pequeño de los dos?

En el teatro

En el teatro Buenavista todos los precios son valores enteros de euros y una butaca de palco cuesta más de un butaca de patio.

Miguel compra dos butacas, una de patio y otra de palco, y observa que, para escribir los dos precios (ambos de dos dígitos) se utilizan cuatro cifras distintas.

Cuando va a pagar, la taquillera le pide una cantidad de 359 euros superior al precio que había calculado mentalmente. Tras una pequeña discusión, la taquillera se disculpa pues ha multiplicado los precios en vez de sumarlos.

¿Cuál es el precio de la butaca de palco?

Reparto de billetes

A un lujoso apartamento de la costa española han llegado cuatro políticos corruptos, Mariano, Nacho, Paco y Quique, que acaban de recibir un grueso sobre lleno de billetes, fruto de su última pillería.

Todavía exhaustos tras una pantagruélica comida, con que han celebrado la operación, se echan a dormir una siesta. Al poco, Mariano, desconfiado (los políticos corruptos lo suelen ser), temiendo que los otros se despierten y se guarden algún billete, se levanta, hace cuatro partes iguales del total de billetes, se guarda su parte y deja el resto amontonado, echando además un billete que le había sobrado en una hucha que tenían para gastos varios. Al cabo de una hora, Nacho se despierta y tiene la misma idea: hace cuatro partes iguales del total de billetes que encuentra, se guarda una parte, vuelve a amontonar el resto y echa otro billete que le había sobrado en la hucha. Al cabo de otra hora Paco hace exactamente la misma operación que el segundo y finalmente, Quique efectúa la misma operación una hora más tarde, aunque en este caso no le sobra ningún billete para meter en la hucha.

Horas después, al levantarse de la siesta, deciden repartir los billetes (los que finalmente habían quedado en el sobre) entre los cuatro, cada uno de ellos pensando que ninguno de los otros tres se había dado cuenta de lo que él había hecho anteriormente.

Sabiendo que en este último reparto no ha sobrado ningún billete y que los políticos ya sabían que el sobre no contenía más de 1000 billetes, ¿cuál es el número total de billetes que había en el sobre?, ¿con cuántos billetes se ha quedado cada político?

Un número curioso

Encuentra un número natural tal que al multiplicarlo por 23 se obtenga un número con la cifra 1 al principio y al final y, entre ambas, las mismas cifras que el número original y en el mismo orden.

Solución cuaternal

Halla, si existe, una cuaterna de números naturales ( a , b , c , d ) que sea solución de la ecuación