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Cubrimientos de cuadrados

Se pretende cubrir totalmente un cuadrado de lado k (k entero mayor que uno) con los siguientes rectángulos: 1 rectángulo de 1×1, 2 rectángulos de 2×1, 4 rectángulos de 3×1, … , 2n rectángulos de (n+1)x1, de tal manera que los rectángulos no se superpongan ni excedan los límites del cuadrado.

Halla los valores de k para los que esto es posible y, para cada valor de k encontrado, dibuja una solución.

Suma visual

Un cuadrado “casimágico”

El cuadrado de la figura se rellena con los números 1, 2, 3, 4 y 5 de tal manera que cada fila y cada columna contienen cada uno de ellos exactamente una vez.

Además, la suma de los números en cada una de las tres regiones con bordes en negrita es igual.

¿Qué número está en la esquina superior derecha?

Maravilla pentagonal

Edward Falkener (1814-1896) fue un arquitecto inglés que, entre otros, restauró monumentos de la era romana y trabajó en edificaciones de épocas pasadas.

Escribió, en base a su experiencia, el libro Games, Ancient and Oriental en 1892 y, en él, describe un pentágono mágico:

Son los números de 1 a 101 distribuidos mágicamente y con su valor medio, 51, en el centro de la imagen.

Se puede observar (calculando uno a uno) que los cinco lados de cada pentágono son de igual suma y que los cinco ‘diámetros’, desde una esquina y pasando por el centro hasta la esquina opuesta, suman cada uno 459, que es nueve veces el número central 51.

Además, el pentágono interno suma 510 en su contorno, o 10 veces el número central 51. El siguiente pentágono suma 1020, o 20 veces el número central: 51; y los dos siguientes suman 1530 y 2040 que son, respectivamente, 30 y 40 veces (¡otra vez!) el número central: 51. ¡Todas las sumas relacionadas con el valor central: 51!

Parece ser que este pentágono fue creado por Mikhail Frolov en Les carrés magiques (1886).

Esta información ha sido extraída, como tantos otros datos curiosos, de Futility Closet.

El desarrollo de un cubo

La figura muestra un cubo desplegado.

Escribe en cada cara del cubo un número entero del 1 al 6 sin repetir sabiendo que, al armar nuevamente el cubo, si para cada vértice se calcula la multiplicación de los números de las tres caras que concurren en ese vértice, se obtienen, en algún orden, los números 10, 12, 20, 24, 30, 36, 60 y 72 y teniendo en cuenta que el 1 ya está colocado.

Camino de cerillas

Se quieren colocar cerillas sobre algunos de los segmentos punteados en la cuadrícula de la figura.

Empezando con la cerilla marcada, se pone cada una a continuación de la anterior y se termina al conectar la última cerilla con la primera.

En cada celda se escribe el número de cerillas colocadas alrededor de ella. Algunos de esos números ya están reflejados.

¿Cuál es el mínimo número de cerillas que hay que poner?