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Solo queda uno

Dados varios enteros, la operación permitida es reemplazar dos de ellos por su diferencia no negativa. La operación se repite hasta que queda un solo número.

Si los números iniciales son 1, 2, …, 2020, ¿cuál puede ser el último número que queda?

Año sensato

Se dice que un número natural n es sensato si existe un entero r, con 1<r<n-1, tal que la representación de n en base r tiene todas sus cifras iguales.

Por ejemplo, 62 y 15 son sensatos, ya que 62 es 222 en base 5 y 15 es 33 en base 4.

Justifica que 2020 es sensato obteniendo su representación en una base con todas las cifras iguales.

Soluciones de la ecuación

Halla todos los números enteros ab que satisfacen la ecuación

Suma secuencial

Para cada entero positivo n, sea an el último dígito del número 1+2+3+…+n

Calcula a1 + a2 + a3 + … + a2030

Segmento en el trapecio

Sea ABCD un trapecio de bases AB y CD, con AB<CD, tal que ^BAD=60o y AB+CD=2AD. Sea M el punto medio de BC.

Si AD = 10, calcula la medida del segmento DM.

Valores de P

Sea P(x,y)=2x2-6xy+5y2. Se dice que un número entero a es un valor de P si existen números enteros b y c tales que a=P(b,c).

Determina cuántos números naturales menores o iguales a 100 son valores de P.