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El medallón

Marta tiene un medallón hecho con 11 hexágonos.

Ha hecho un dibujo del medallón y se divierte rodeándolo con otros hexágonos que marca con números desde 1, girando en la dirección opuesta a la de las agujas del reloj.

Se da cuenta que los números 1, 20, 45, 76,… se colocan uno encima del otro y se pregunta, ¿cuál será el número que ocupe el lugar 100 en esa serie?

Averígualo.

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La suma de los autoproductos

El autoproducto de un número natural es el producto de todas sus cifras.

Por ejemplo, el autoproducto de 24 es 2×4 = 8, el autoproducto de 354 es 3×5×4 = 60, el autoproducto de 105 es 1×0×5 = 0.

¿Cuál es la suma de los autoproductos de todos los números de 10 a 2018, ambos incluidos?

Progresiones

Los números a, b  y c, distintos de cero, están en progresión aritmética.

Si aumentamos a  en 1, o c  en 2, resulta una progresión geométrica.

¿Cuánto vale b ?

Torres

Poco antes de la Segunda Guerra Mundial un arquitecto de nombre Smith aterrizó en Australia y construyó la primera torre de la ciudad de Thiscityhasaveryshortname.

Al año siguiente construyó una segunda torre con un piso más que la primera. Cada año volvía y construía una nueva torre con una planta adicional.

El Sr. Smith indicó que, a finales de 1989, sus torres poseían un total de 1989 plantas.

¿Cuál es el número de pisos en la mayor de las torres en ese año?

Un montón de bombones

Raquel y María comparten un montón de bombones de la siguiente manera: Raquel toma uno y María, codiciosa, toma dos; a continuación, Raquel toma tres y María, seguidamente, toma 4… y así sucesivamente cada una va tomando un bombón más de los que había tomado la anterior

María es la última en tomar los bombones llevándose todos los que quedan. Si se ha llevado, en total, 10 bombones más que Raquel, ¿cuántos bombones había en el montón inicial?