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La gran escalera

gescaleraLa Gran Escalera tiene un número infinito de peldaños.

El atlético Teodoro empieza a subir la escalera en series de 13 peldaños desde abajo.

Después de subir la primera serie de 13 peldaños Teodoro debe recuperar fuerzas respirando profundamente y, cansado, desciende un peldaño. Después de la segunda serie, más cansado, desciende dos peldaños,… y así sucesivamente, y de forma progresiva, su agotamiento le hace descender, después de cada serie, un número de peldaños igual a una unidad más que la cantidad descendida al acabar la serie anterior.

¿Cuál es la máxima altura, en peldaños, que llega a alcanzar Teodoro antes de volver a tocar el suelo?

Progresiones

prgrLos números 3, a  y b  están en progresión geométrica y los números 2a, 3a  y 48 están en progresión aritmética.

Halla la suma de la razón y la diferencia de las progresiones.

Suma de una progresión

paritUna progresión aritmética de n  términos verifica las siguientes propiedades:

  • La suma de los términos primero, tercero, quinto y así sucesivamente hasta llegar al último de la progresión original, es 320.
  • La suma de los términos primero, cuarto, séptimo, décimo y así sucesivamente hasta el último de la progresión original, es 224.

¿Cuál es la suma de todos los términos de la progresión?

Suma de una sucesión

Para cada número natural n  consideremos an  como el número cuya expresión decimal está formada por n  treses.

Es decir, a1 = 3, a2 = 33, a3 = 333, etc,… formando así una sucesión.

Halla, en función de n, la expresión más simplificada de la suma

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Una suma muy pesada

sumaCien números, en progresión aritmética, verifican que su suma es 52 y que la suma de los términos pares es 1.

Calcula la suma de los cuadrados de los cien números