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Castillo de tarjetas

Se tienen 1993 tarjetas cuadradas, 1000 rojas y 993 azules, y se va construyendo un “castillo de tarjetas” como se ve a continuación:

Se desea continuar la construcción del dibujo de la misma manera:  una línea oblícua  de tarjetas rojas, una línea oblícua  de tarjetas negras, etc …, parando cuando la última línea oblícua  completa posible haya sido colocada.

¿Cuántas tarjetas rojas quedarán sin colocar?

Sucesiones de x

Halla la expresión más simplificada para la suma de los n  primeros números de la sucesión x, xx, xxx, … siendo x  un dígito no nulo del sistema decimal.

Suma de tres números

Sean tres números enteros distintos a, b, c  tales que

  • a  x b  x c  = 17955
  • a, b, c  están en progresión aritmética (en ese orden)
  • 3a  + b, 3b  + c  y 3c  + a  están en progresión geométrica (en ese orden)

¿Cuál es el valor de a  + b  + c ?

Hijos de Dimas

hijosDimas tuvo nueve hijos, todos con la edad espaciada el mismo número de años entre dos consecutivos.

En 2008, el cuadrado de la edad de Dimas era exactamente igual a la suma de los cuadrados de las edades de los niños.

¿Qué edad tiene ahora Dimas?

La gran escalera

gescaleraLa Gran Escalera tiene un número infinito de peldaños.

El atlético Teodoro empieza a subir la escalera en series de 13 peldaños desde abajo.

Después de subir la primera serie de 13 peldaños Teodoro debe recuperar fuerzas respirando profundamente y, cansado, desciende un peldaño. Después de la segunda serie, más cansado, desciende dos peldaños,… y así sucesivamente, y de forma progresiva, su agotamiento le hace descender, después de cada serie, un número de peldaños igual a una unidad más que la cantidad descendida al acabar la serie anterior.

¿Cuál es la máxima altura, en peldaños, que llega a alcanzar Teodoro antes de volver a tocar el suelo?