Pascal y las tangentes

Otro resultado, de los muchos, encontrado en relación al triángulo de Pascal.

Recordamos que

Si desarrollamos la tangente del ángulo triple tenemos que

Seguimos:

Y, como otro ejemplo añadido,

Quienes estéis familiarizados con el triángulo de Pascal

observaréis que los coeficientes (alternándose en numerador y denominador) siguen la pauta exacta de la fila correspondiente de triángulo.

Podemos escribir perfectamente que

relacionando el famoso triángulo, la combinatoria y las tangentes trigonométricas de los múltiplos de un ángulo cualquiera.

Esta entrada está basada en una página de Frank C. Fung, en la que puede ampliarse el conocimiento de los conceptos que se citan.

Integral indefinida

Halla

Operación trigonométrica

Si α=25° y β=20°, calcula el valor de

Un ángulo desconocido

Sea AD la mediana de un triángulo ABC de forma que el ángulo ADB es de 45^o, y ACB es de 30^o.

Determina el valor del ángulo BAD.

El hexágono en el triángulo

Sea PQR un triángulo tal que ^P = 75^o y ^Q = 60^o.

Un hexágono regular ABCDEF, de lado 1, es interior al triángulo PQR con el lado AB sobre el lado PQ, el lado CD sobre el lado QR, el vértice E en el interior del triángulo PQR y el vértice F en el lado PR.

Halla la longitud del lado QR.

El triángulo de Alison

Según lo visto en Futility Closet, esta estrella es el llamado Triángulo de Alison

Es una herramienta utilísima, si se memoriza, para recordar fórmulas trigonométricas que relacionan las razones de un ángulo teniendo en cuenta las tres siguientes condiciones:

1.- Las razones que están en las casillas opuestas son opuestas.

2.- Dadas tres razones situadas en casillas adyacentes, la central siempre es el producto de las laterales.

3.- Dadas tres razones situadas en casillas adyacentes, el cociente entre la central y una lateral es igual a la otra lateral.

Un lado del triángulo

Sea ABC un triángulo tal que el ángulo A es el triple del ángulo B

Si BC = 5 y CA = 3, calcula la medida del lado AB

Cálculo del segmento

Sea ABCD un cuadrado de papel de lados AB = BC = CD = DA =10

El cuadrado se dobla a lo largo de una línea recta, haciendo coincidir el vértice A  con el punto medio del lado BC

Esta línea recta corta al lado AB en E y al lado CD en F

Calcula la medida de EF

Los ángulos del triángulo

Sea ABC  un triángulo tal que el ángulo B  es doble del ángulo C  y D  el punto del lado BC  tal que AD  es bisectriz del ángulo A.

Si CD  = AB, calcula las medidas de los ángulos del triángulo ABC.

Simplificación trigonométrica

Simplifica, al máximo, la expresión