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Los senos de Bhaskara I

Bhaskara I fue un matemático indio del siglo VII que estableció una expresión racional en una variable para obtener valores aproximados de los senos trigonométricos.

La fórmula es, usando grados sexagesimales,

No se sabe cómo la descubrió, pero es elegante, simple y permite calcular valores razonablemente precisos de senos trigonométricos sin usar geometría alguna.

Obsérvese la gran aproximación de los valores propuestos en la gráfica adjunta.

Se puede expresar también con el ángulo en radianes mediante la forma que se ve a continuación:

Y haciendo el cambio


se puede obtener una fórmula para el coseno mucho más fácil de recordar:

Nota: si hacemos el cambio de variable vemos que y toma valores en el cuarto cuadrante, pero, en el caso del coseno y al ser una expresión cuadrática en y, podemos tomar sin problema los valores de ángulos del primer cuadrante.

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Cálculos geométricos

Dos cuerdas AB y AC se dibujan en una circunferencia de diámetro AD.

El ángulo BAC mide 60o, BE es perpendicular a AC, AB = 24 cm y EC = 3 cm.

¿Cuál es la longitud de la cuerda BD?

El área del paralelogramo

Desde un vértice de un paralelogramo, de lados 16 cm y 12 cm, se trazan las perpendiculares a los lados opuestos. El ángulo agudo entre esas perpendiculares es de 60o

¿Cuál es, en cm2, el área del paralelogramo?

Trapecio circunscrito

Dada una circunferencia de centro O  se trazan cuatro rectas tangentes a la circunferencia de modo que estas cuatro rectas determinan el trapecio ABCD, de bases AB  y CD  y lados no paralelos BC  y DA.

Si AO  = 2×√6 cm, BO  = 4×√3 cm y CO  = 4 cm, calcula las medidas de los lados y los ángulos del trapecio.

Los lados del trapecio

Sea ABCD  un trapecio de bases AB  y CD  y lados no paralelos BC  y DA, tal que BAD  = ADC  = 90°, AB  = 54 cm y CD  = 24 cm.

Se sabe además que la bisectriz del ángulo ABC  corta a la bisectriz del ángulo BCD en un punto P  del lado DA.

Calcula las medidas de los lados BC  y DA.

Proporción trigonométrica

La figura adjunta muestra una circunferencia de centro C  y diámetro AE, un segmento AB  perpendicular a dicho diámetro y un segmento BD  que contiene al centro C.

Si α  es, en radianes, el ángulo ACB  y las dos regiones coloreadas de verde tienen la misma superficie, calcula la proporción entre el valor de α  y el de su tangente trigonométrica.