El descenso más rápido

Una curva braquistócrona es la curva que representa la forma de una rampa que es recorrida en el menor tiempo posible por un cuerpo que comienza en el punto inicial con velocidad cero y que debe desplazarse a lo largo de la rampa hasta llegar al segundo punto bajo la única acción de una gravedad constante y suponiendo que no existe fricción.
descenso
La intuición nos dice que esa rampa tendría que tener una forma de una línea recta. Esto conseguiría que la distancia entre los dos puntos fuera la menor posible pero no que el descenso durase el menor tiempo.

En la animación adjunta se puede observar el problema, en donde respectivas bolas se deslizan, respectivamente, a través de una recta, una parábola, un círculo, una cicloide y una polinómica de sexto grado.

La respuesta correcta es que la curva braquistócrona  debe ser una curva cicloide.

Johann Bernoulli resolvió el problema en 1696, aunque varios matemáticos más intervinieron en la solución, entre ellos Leibniz, Newton o L’Hôpital. Ésta fue la primera resolución con una nueva teoría matemática: el cálculo de variaciones.

cicloide1Además, la cicloide es, también, una curva tautócrona. Es decir, el tiempo empleado en llegar al punto más bajo de una rampa cicloide por parte de un objeto que deslice sin rozamiento con gravedad uniforme es independiente de su punto de partida. Esto lo apreciamos en esta otra animación: en su parte superior aparece la gráfica espacio-tiempo para cada objeto y las flechas azules representan la aceleración de cada objeto.

Por si fuera poco, este espléndido vídeo elaborado por profesores del IES Historiador Chabàs de Dénia, Alicante, nos aclara aún más el concepto:

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