Archivo mensual: abril 2015

Suma de ángulos

angulos¿Cuál es la suma de los diez ángulos marcados en la figura adjunta en la que los cinco triángulos están construidos a partir de cinco rectas que se cortan en un mismo punto?

Tira doblada

Una tira rectangular ABCD, de 4 x 16 cm, se dobla a lo largo del segmento MN de manera que el vértice C coincida con el vértice A.

tiraDoblada

¿Cuánto vale el área del pentágono ABNMD’ ?

Solución al problema “Suma de potencias de 7”

Aquí está la solución del problema Suma de potencias de 7, propuesto en la entrada del día 15 de abril:

Los repunits

unosEn el campo de las matemáticas recreativas se estudia cualquier cosa que tenga que ver con números… si presenta alguna regularidad.

repunitEste es el caso de los repitunos o repunits (repeat units), números naturales que son una secuencia de unos: 1, 11, 111, 1111, etc…

Un repunit se define así: Rn = 111…..11 (n unos) o, de manera más matemática,

Rn = (10n – 1)/9

repunit3Véanse, en algunas imágenes de esta entrada, formas curiosas de construirlos.

Limitándonos al sistema de numeración decimal, pues pueden estudiarse en cualquier base, podemos observar que

  • los repunits R2n son siempre números compuestos, pues son múltiplos de 11: 11, 1111 = 11 x 101, 111111 = 11 x 10101, …
  • los repunits R3n son siempre números compuestos, pues son múltiplos de 3 ya que la suma de sus cifras es siempre múltiplo de 3: 111 = 3 x 37, 111111 = 3 x 37037, …

De hecho, la búsqueda de repunits primos no es sencilla. Puede demostrarse de manera elemental que si n es un número compuesto, Rn también lo es, aunque el razonamiento inverso no es cierto: 5 es primo pero R5 = 11111 = 41 x 271 es compuesto.

Efectivamente, si n = a x b y a es mayor o igual que b,

Rn = Ra x 10…..010…01…..10…01

con a-1 ceros entre dos dígitos 1 y b unos.

repunit2Se sabe que son primos los números R2, R19, R23, R317, R1031  (¡los subíndices indican la cantidad de dígitos!)… y se han estudiado probables primos (no probados definitivamente como tales) a partir de repunits con más de diez mil cifras… ¡!

Existe el Proyecto de Cunningham para factorizar, entre otros números, repunits en distintas bases; y aquí tenéis dos enlaces en los que se da información sobre estos números y se muestran factorizaciones:

Para saber más sobre estos números os dejo más enlaces: Tardigrados, MathWorld y Utm

Solución al problema “2015 en tres partes”

Tenemos aquí la solución del problema 2015 en tres partes, propuesto en la entrada del día 14 de abril: