Suma de ángulos

¿Cuál es la suma de los diez ángulos marcados en la figura adjunta en la que los cinco triángulos están construidos a partir de cinco rectas que se cortan en un mismo punto?

Tira doblada

Una tira rectangular ABCD, de 4 x 16 cm, se dobla a lo largo del segmento MN de manera que el vértice C coincida con el vértice A.

¿Cuánto vale el área del pentágono ABNMD’ ?

Solución al problema «Suma de potencias de 7»

Aquí está la solución del problema Suma de potencias de 7, propuesto en la entrada del día 15 de abril:

Los repunits

En el campo de las matemáticas recreativas se estudia cualquier cosa que tenga que ver con números… si presenta alguna regularidad.

Este es el caso de los repitunos o repunits (repeat units), números naturales que son una secuencia de unos: 1, 11, 111, 1111, etc…

Un repunit se define así: R_n = 111…..11 (n unos) o, de manera más matemática,

R_n = (10ⁿ – 1)/9

Véanse, en algunas imágenes de esta entrada, formas curiosas de construirlos.

Limitándonos al sistema de numeración decimal, pues pueden estudiarse en cualquier base, podemos observar que

• los repunits R_2n son siempre números compuestos, pues son múltiplos de 11: 11, 1111 = 11 x 101, 111111 = 11 x 10101, …

• los repunits R_3n son siempre números compuestos, pues son múltiplos de 3 ya que la suma de sus cifras es siempre múltiplo de 3: 111 = 3 x 37, 111111 = 3 x 37037, …

De hecho, la búsqueda de repunits primos no es sencilla. Puede demostrarse de manera elemental que si n es un número compuesto, R_n también lo es, aunque el razonamiento inverso no es cierto: 5 es primo pero R₅ = 11111 = 41 x 271 es compuesto.

Efectivamente, si n = a x b y a es mayor o igual que b,

R_n = R_a x 10…..010…01…..10…01

con a-1 ceros entre dos dígitos 1 y b unos.

Se sabe que son primos los números R₂, R₁₉, R₂₃, R₃₁₇, R₁₀₃₁  (¡los subíndices indican la cantidad de dígitos!)… y se han estudiado probables primos (no probados definitivamente como tales) a partir de repunits con más de diez mil cifras… ¡!

Existe el Proyecto de Cunningham para factorizar, entre otros números, repunits en distintas bases; y aquí tenéis dos enlaces en los que se da información sobre estos números y se muestran factorizaciones:

• http://www.worldofnumbers.com/repunits.htm
• http://stdkmd.com/nrr/repunit/

Para saber más sobre estos números os dejo más enlaces: Tardigrados, MathWorld y Utm

Solución al problema «2015 en tres partes»

Tenemos aquí la solución del problema 2015 en tres partes, propuesto en la entrada del día 14 de abril:

Cuadro de progresiones

En el cuadrado adjunto cada fila, cada columna y cada diagonal forman una progresión aritmética.

¿Qué valor tiene x?

2012

siendo m y k dos números naturales.

Halla el valor de k.

Solución al problema «Una base actual»

Esta es la solución del problema Una base actual, propuesto en la entrada del día 12 de abril:

El quinto postulado de Euclides

Hace poco indicamos ciertas propiedades de algunas geometrías no euclídeas, fruto del cuestionamiento del quinto postulado de Euclides.

En el siguiente vídeo de TED se habla de esto, indicando la inquietud que existió siempre por el tema y el uso que han tenido de algunas de esas geometrías.

(Recordad que pulsando en los subtítulos seguiréis en castellano las explicaciones)

Solución al problema «Operación con radicales»

Aquí está la solución del problema Operación con radicales, propuesto en la entrada del día 11 de abril: