La suma de los tres

Sean tres números naturales distintos entre sí tales que la suma de los productos de cada uno de los pares que pueden formarse es igual al producto de los tres.

¿Qué valores puede tomar la suma de los tres?

Solución al problema «Probabilidad de un producto»

Tenemos aquí la solución del problema Probabilidad de un producto, propuesto en la entrada del día 16 de septiembre:

Sucesiones de Farey

Una sucesión de Farey F_n para un entero positivo n es una sucesión de todas las fracciones irreducibles entre 0 y 1 escritas en orden creciente que pueden generarse a partir de las fracciones de denominador menor o igual a n

Por ejemplo, la sucesión F₅ se construye a partir de las fracciones

eliminándose aquellas que tienen un valor repetido

y, finalmente, ordenando las que quedan de menor a mayor

Así, las primeras sucesiones de Farey son

y verifican que cada una de ellas contiene a todas las anteriores.

Si tomamos cualquier trío de fracciones consecutivas en una de las sucesiones se verifica que la suma de los numeradores de las de los extremos dividida por la suma de los denominadores de las de los extremos es igual al valor de la fracción intermedia.

Es decir, si en una sucesión tomamos tres fracciones consecutivas

a /b < c /d < e /f

se verifica siempre que

(a + e )/(b + f ) = c /d

Comprobadlo en cualquiera de las sucesiones descritas en la imagen anterior.

Se sabe también que el número de términos de la sucesión F_n se puede obtener de manera aproximada a partir de la expresión 3n²/π²

Son muy evidentes las propiedades visuales que aparecen cuando se representan las sucesiones mediante puntos en un sistema de coordenadas, indicando en el eje horizontal los valores de las fracciones y en el eje vertical los sucesivos valores de n

Como puede apreciarse en este gráfico, debido a Debra Borkovitz, los puntos correspondientes a fracciones con el mismo numerador construyen hipérbolas (en realidad se sitúan sobre una misma curva hiperbólica).

Se han remarcado en el gráfico las correspondientes a numerador 7 y numerador n-7 respectivamente.

Para poder manipular esta gráfica podéis acceder al applet de Geogebra que la genera.

Así mismo, una función recursiva permite obtener todos los términos de cualquier sucesión de Farey. Podéis adaptarla al lenguaje de programación que os sea más familiar.

Solución al problema «Los extraterrestres»

Esta es la solución del problema Los extraterrestres, propuesto en la entrada del día 15 de septiembre:

Las cifras del término independiente

Si las dos raíces de la ecuación

 son números primos, ¿cuál es la suma de las cifras de n ?

Suma de términos fraccionarios

Si

calcula S₂₀₁₆ en forma de fracción irreducible.

Solución al problema «Valor numérico cuadrado»

Aquí está la solución del problema Valor numérico cuadrado, propuesto en la entrada del día 13 de septiembre:

2048 Fibonacci

A partir del conocido juego 2048 se han creado otros muchos con propósitos similares.

El que traemos hoy aquí es el 2048 Fibonacci, que usa la misma técnica que los anteriores y trata de ir construyendo términos de la sucesión de Fibonacci, sumando dos adecuados, hasta llegar al número 2584 superando así el juego.

Como se sabe, la sucesión de Fibonacci está formada por los números 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … y cada término, a partir del tercero, se crea sumando los dos inmediatamente anteriores de la sucesión… Los dos primeros términos están prefijados siendo 0 y 1

Pulsando en la imagen se accede a la web del juego, donde una persona puede jugar hasta cansarse:

Solución al problema «Ciclistas»

Tenemos aquí la solución del problema Ciclistas, propuesto en la entrada del día 12 de septiembre:

Catorceava parte

¿Cuántos números naturales verifican que, al quitarles la cifra de las unidades, el nuevo número formado con esta operación es 14 veces más pequeño que el original?