Una integral diabólica

Calcula el valor de la integral

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El manuscrito

En un antiguo manuscrito se han encontrado curiosas operaciones, entre números naturales, que pueden transcribirse así:

((1789 µ 11) ɣ 9) = 63

((2000 µ 9) ɣ 11) = 22

((((99 µ 89) ɣ 11) µ 9) ɣ 7) = 14

El profesor Sandalio, experto criptógrafo, ha descubierto la clave del enigma que constituyen las igualdades citadas:

• El resultado de la operación µ es el resto de la división entera del primer número por el segundo.
• El resultado de la operación ɣ es el producto de los dos números que intervienen en la operación.
• Además, el signo igual y los paréntesis juegan, en las operaciones, el mismo papel que para nuestras operaciones.

Sandalio descubre, un poco más tarde, otro manuscrito con una igualdad compuesta con las mismas operaciones.  

 (((((((((19 µ 4) ɣ 28) µ 5) ɣ 2) µ 3) ɣ 10) µ x) ɣ y) µ 13) ɣ 4 = 16

Desgraciadamente, dos números son ilegibles y se han sustituido por x  e y.

¿Cuántos números menores de 20 no pueden ser valores de y ?

Una diofántica de primos

Halla una solución de la ecuación

siendo p y q  números primos.

Reparto de billetes

A un lujoso apartamento de la costa española han llegado cuatro políticos corruptos, Mariano, Nacho, Paco y Quique, que acaban de recibir un grueso sobre lleno de billetes, fruto de su última pillería.

Todavía exhaustos tras una pantagruélica comida, con que han celebrado la operación, se echan a dormir una siesta. Al poco, Mariano, desconfiado (los políticos corruptos lo suelen ser), temiendo que los otros se despierten y se guarden algún billete, se levanta, hace cuatro partes iguales del total de billetes, se guarda su parte y deja el resto amontonado, echando además un billete que le había sobrado en una hucha que tenían para gastos varios. Al cabo de una hora, Nacho se despierta y tiene la misma idea: hace cuatro partes iguales del total de billetes que encuentra, se guarda una parte, vuelve a amontonar el resto y echa otro billete que le había sobrado en la hucha. Al cabo de otra hora Paco hace exactamente la misma operación que el segundo y finalmente, Quique efectúa la misma operación una hora más tarde, aunque en este caso no le sobra ningún billete para meter en la hucha.

Horas después, al levantarse de la siesta, deciden repartir los billetes (los que finalmente habían quedado en el sobre) entre los cuatro, cada uno de ellos pensando que ninguno de los otros tres se había dado cuenta de lo que él había hecho anteriormente.

Sabiendo que en este último reparto no ha sobrado ningún billete y que los políticos ya sabían que el sobre no contenía más de 1000 billetes, ¿cuál es el número total de billetes que había en el sobre?, ¿con cuántos billetes se ha quedado cada político?

Solución cuaternal

Halla, si existe, una cuaterna de números naturales ( a , b , c , d ) que sea solución de la ecuación