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Igualdades fraccionarias


En la pizarra están escritas tres fracciones iguales:

f1

en las que se han usado exactamente una vez cada uno de los dígitos entre 1 y 9.

Se escriben otras tres fracciones iguales, en las mismas condiciones, y luego se reemplazan algunos de los dígitos por letras

f2

Calcula la suma a + c + 7 + e

Fracción de sumas

Sean las sumas

Halla la fracción irreducible S/T

Un número borrado

Se escriben en una hoja de papel todos los números naturales empezando en 1 hasta un número desconocido k y luego se borra uno de los números escritos.

El promedio de los números restantes es 25,25.

¿Cuál es el número que se borró?

Billetes consecutivos

Joaquín y su hermano Ávaro van todos los días a clase en el autobús de la línea 62. Joaquín paga siempre los billetes.

Cada billete tiene impreso un número de 5 dígitos.

Un día Joaquín observa que los números de sus billetes, el suyo y el de su hermano, además de consecutivos, son tales que la suma de los diez dígitos es precisamente 62.

Álvaro, sin ver las numeraciones en ningún momento, le pregunta si la suma de los dígitos de alguno de los billetes es 35 y, al saber la respuesta, le dice directamente el número de cada billete.

¿Cuáles eran esos números?

Término 2019

Un programa de ordenador genera una sucesión de 2019 números, de acuerdo con la siguiente regla: el primer número es 1 y, a partir de ahí, luego de generar el número x, el siguiente número que genera es igual a

siendo [x] la parte entera de x.

Así, los primeros números de la sucesión son 1; 2; 5/2; 3; …

Determina cuál es el último número que genera el programa.

Múltiplos de 5

Consideramos los 2019 números naturales n  desde 1 hasta 2019.

Determina para cuántos de estos valores de n  se verifica que el número n3+3n es múltiplo de 5.

Tablero 4×4

En cada casilla del tablero de 4×4 debe haber un número natural de 1 a 16 inclusive, sin repetir, de modo que la suma de los cuatro números de cada una de las cuatro filas, la suma de los cuatro números de cada una de las cuatro columnas y la suma de los cuatro números de cada una de las dos diagonales sean diez números enteros consecutivos, en algún orden.

Ya se han escrito nueve de los números. Escribe los siete números que faltan.

Una integral diabólica

Calcula el valor de la integral

El manuscrito

En un antiguo manuscrito se han encontrado curiosas operaciones, entre números naturales, que pueden transcribirse así:

((1789 µ 11) ɣ 9) = 63

((2000 µ 9) ɣ 11) = 22

((((99 µ 89) ɣ 11) µ 9) ɣ 7) = 14

El profesor Sandalio, experto criptógrafo, ha descubierto la clave del enigma que constituyen las igualdades citadas:

  • El resultado de la operación µ es el resto de la división entera del primer número por el segundo.
  • El resultado de la operación ɣ es el producto de los dos números que intervienen en la operación.
  • Además, el signo igual y los paréntesis juegan, en las operaciones, el mismo papel que para nuestras operaciones.

Sandalio descubre, un poco más tarde, otro manuscrito con una igualdad compuesta con las mismas operaciones.  

 (((((((((19 µ 4) ɣ 28) µ 5) ɣ 2) µ 3) ɣ 10) µ xɣ yµ 13) ɣ 4 = 16

Desgraciadamente, dos números son ilegibles y se han sustituido por x  e y.

¿Cuántos números menores de 20 no pueden ser valores de y ?

Una diofántica de primos

Halla una solución de la ecuación

siendo p y q  números primos.