Un número borrado

Se escriben en una hoja de papel todos los números naturales empezando en 1 hasta un número desconocido k y luego se borra uno de los números escritos.

El promedio de los números restantes es 25,25.

¿Cuál es el número que se borró?

Billetes consecutivos

Joaquín y su hermano Ávaro van todos los días a clase en el autobús de la línea 62. Joaquín paga siempre los billetes.

Cada billete tiene impreso un número de 5 dígitos.

Un día Joaquín observa que los números de sus billetes, el suyo y el de su hermano, además de consecutivos, son tales que la suma de los diez dígitos es precisamente 62.

Álvaro, sin ver las numeraciones en ningún momento, le pregunta si la suma de los dígitos de alguno de los billetes es 35 y, al saber la respuesta, le dice directamente el número de cada billete.

¿Cuáles eran esos números?

Término 2019

Un programa de ordenador genera una sucesión de 2019 números, de acuerdo con la siguiente regla: el primer número es 1 y, a partir de ahí, luego de generar el número x, el siguiente número que genera es igual a

siendo [x] la parte entera de x.

Así, los primeros números de la sucesión son 1; 2; 5/2; 3; …

Determina cuál es el último número que genera el programa.

Múltiplos de 5

Consideramos los 2019 números naturales n  desde 1 hasta 2019.

Determina para cuántos de estos valores de n  se verifica que el número n³+3ⁿ es múltiplo de 5.

Tablero 4×4

En cada casilla del tablero de 4×4 debe haber un número natural de 1 a 16 inclusive, sin repetir, de modo que la suma de los cuatro números de cada una de las cuatro filas, la suma de los cuatro números de cada una de las cuatro columnas y la suma de los cuatro números de cada una de las dos diagonales sean diez números enteros consecutivos, en algún orden.

Ya se han escrito nueve de los números. Escribe los siete números que faltan.

Una integral diabólica

Calcula el valor de la integral