Archivo mensual: julio 2013

¡Todos al suelo!

ladronesUna banda de siete ‘proletarios del afano y del delinquo‘, como se autocalificaban, decidió, un buen día, asaltar la tienda de la esquina con el fin de ganarse el jornal de una semana en una sola mañana.

Con el plan establecido, estudiado, madurado, …, aprendido (en suma) … se dirigieron a las 9 hacia el colmado y, quedando tres en la puerta para vigilar la llegada de posibles inoportunos, entraron los otros con dos pistolas y cuatro gritos: ‘TODOS AL SUELO, ESTO ES UN ATRACO

Al suelo se tiraron el tendero y la tendera. Uno de los atracadores se dirigió a la caja registradora y, abriéndola de un manotazo, tomó los billetes y monedas que tuvo a la vista. Al grito de ‘¡YA ESTÁ!’  salieron apresuradamente los cuatro por la puerta, en la que se les unieron los otros.

Corriendo sin parar llegaron, al cabo de unos minutos, a la caseta donde habitualmente se reunían dispuestos a repartirse el botín.

El que llevaba el dinero, que parecía ser el jefe, lo soltó encima de una mesa y dijo: ‘Vamos a repartir la pasta que tengo bastante prisa. Hay 28 euros. A ver,… ¿sabe alguien dividir?’

robo1Se hizo un breve silencio hasta que el jefe soltó: ‘Bueno, pues lo haré yo’. Encima de la mesa, con un papel y un lápiz, y los otros seis mirando, empezó a calcular a la vez que lo explicaba: ‘Veamos. 28 para 7 … 2 entre 7 no cabe, por lo tanto cojamos el 8. 8 entre 7… 1 y nos queda también 1, y bajamos el 2. Ahora tenemos 21 entre 7 que cabe a 3 y el resto es 0. Por lo tanto, 13 euros para cada uno. Repito, tengo prisa. Cojo lo mío y me voy. Repartíos el resto…’

Y se fue con sus 13 euros. Y el siguiente cogió otros 13. Y el siguiente… quedó quieto un instante. Sólo un instante… igual que los demás.

robo2Regresaron al poco los siete a la cabaña. Seis con cara seria y uno casi a rastras: el jefe. ‘¡He dividido perfectamente y todos lo habéis visto! Vamos a hacer ahora la prueba de la multiplicación y veréis como lo he hecho bien. Fijaos: multiplico 13 por 7… 7 por 3 son 21 y 7 por 1 es 7, por lo tanto 21 más 7, 28, que es lo que debía dar’

Mientras hablaba, iba escribiendo la operación para que todos quedaran convencidos de su razonamiento. Pero la desconfianza ya era grande y alguno se mostraba escéptico, por lo que debió insistir más en convencerlos de la bondad de sus operaciones:

robo3‘¡Sois un atajo de burros que no sabéis nada de Matemáticas y pretendéis decir que os estoy engañando!… Bueno, no sabéis dividir ni multiplicar, pero sabréis algo de sumar, ¿no?’. La cara de los demás se aclaró un poco y todos asintieron. ‘Bien, entonces si yo sumo siete veces 13, que son los euros que nos corresponden a cada uno, y obtengo 28, os convenceréis del todo, ¿verdad?’… Y todos volvieron a asentir, ya más confiados.

Escribió en el papel la suma poniendo siete treces en columna y pidió a todos que sumaran con él en voz alta: ‘Sumemos las unidades: 3 y 3 y 3 y 3 y 3 y 3 y 3 son 21 y, ahora los unos, 1 y 1 y 1 y 1 y 1 y 1 y 1 suman en total 28,… , ¿o no?’

Todos afirmaron con la cabeza y el jefe, estirado y orgulloso, volvió a tomar sus 13 euros y se fue con gran urgencia… 😉

La mosca y la miel

Otro problema clásico,  con una pequeña variante del que aparece en el libro Matemática Recreativa de Yakov I. Perelman.

vasoEn la pared interior de un vaso cilíndrico, de 10 cm de diámetro y 20 cm de altura, hay una gota de miel situada a 3 cm del borde del recipiente.
En la pared exterior, y en el punto exactamente opuesto a la gota, se encuentra una mosca.
(Ese punto es tal que el segmento que forma con la gota tiene de punto medio el del segmento-eje del vaso cilíndrico)

¿Cuál es el camino más corto que puede seguir la mosca para llegar a la gota de miel?, ¿qué longitud debe recorrer la mosca?

Los seises

seisUn problema no tan sencillo como parece:

Con operaciones matemáticas, hay que conseguir realizar todos los cálculos con exactamente tres cifras iguales (de 1 a 9) que tengan, como resultado, 6 (Por ejemplo, con la cifra 2: 2+2+2=6)

Puede haber varias soluciones para cada dígito… ¡que haya suerte!

Las cifras. Historia de una gran invención

No pueden faltar en esta web las entradas referidas a mis libros preferidos de matemáticas y que forman parte de mi biblioteca. Empezamos por el primero:

cifrasTÍTULO: Las cifras. Historia de una gran invención
AUTOR: Georges Ifrah
EDITORIAL: Alianza
FECHA DE EDICIÓN: 1.987
I.S.B.N. 10: 8420695572
I.S.B.N. 13: 9788420695570

Historia amena de los sistemas de numeración de las diferentes culturas, desde la Prehistoria hasta nuestros días, con multitud de anécdotas, curiosidades, etc.

El autor muestra la aparición de los números (y de su representación ideografíca) en las distintas civilizaciones, resaltando el perfeccionamiento de sus sistemas de contar, ordenar, …, y la creación de los sistemas numéricos según las necesidades en la evolución de aquellas.

Presumo que hay pocas ediciones después de la reseñada,  y puede que sea complicado obtener el libro.

He visto más referencias en Divulgamat, Baricentro Blog
He visto que está disponible en IberLibro, BuscaLibre, AbeBooks
Para todo lo demás… Google

El tren y el halcón

Inevitablemente tenía que aparecer este problema, uno de los más clásicos y espectaculares del mundo matemático. Toda una noche me hizo cavilar, hace muchísimos años, hasta que dí con la ‘tecla’: lo más sencillo es lo que, muchas veces, permite encontrar la solución.

trenLa distancia por ferrocarril entre Madrid y A Coruña es de 600 kilómetros. Un tren sale de Madrid hacia A Coruña con una velocidad de 160 km/h, y, simultáneamente, otro de A Coruña a Madrid a 140 km/h.

En ese mismo momento un halcón peregrino (velocísimo), situado en la locomotora del primer tren, comienza a volar siguiendo la vía férrea hacia A Coruña a una velocidad constante de 175 km/h. Al cabo de cierto tiempo llega al tren que viene en sentido contrario, toca la locomotora y, sin perder tiempo, se vuelve hacia el primer tren repitiendo este vaivén hasta que los trenes se encuentran y, en el inevitable choque, aplastan al halcón, que muere.

¿Cuáles son los kilómetros recorridos por el halcón desde que comienza el trayecto hasta que muere?

Dos ‘teoremas’ de geometría

1. Teorema de la Recta Astuta
Dados tres puntos no alineados A, B y C del plano afín euclídeo se afirma que por ellos siempre puede pasar una recta, si ésta es lo suficientemente astuta para poder pasar por A y desviarse para pasar por B hasta alcanzar, finalmente, C.

astuta

1.1 Corolario
En las condiciones del teorema 1.1 y con los puntos prefijados, existe una única recta astuta r, llamada recta viva, que pasa por ellos y cuyo desvío hacia el punto intermedio está optimizado y es mínimo.

1.2 Corolario
En las condiciones del teorema 1.1 y con los puntos prefijados, existe una única recta astuta r, llamada recta boba, que pasa por ellos y cuyo desvío hacia el punto intermedio es máximo.

1.3 Ejercicio
Dibujar la recta boba con los puntos de la figura anterior.

2.1 Teorema del Punto Gordo
Dadas dos rectas paralelas y distintas, r y r’, puede demostrarse que siempre se cortan en un punto A, si éste es lo suficientemente gordo como para interseccionar con ambas.

 gordo

¿Alguna demostración de los teoremas y/o corolarios?, ¿alguna resolución del ejercicio?

Los celosos Shys

Hace tres siglos, lejanas praderas del Oeste americano eran habitadas por diferentes tribus de indios como los SHYS, los BADMILKS y los HOTEGGS.

indioLos SHYS eran grandes guerreros y dotados de una increíble inteligencia, equiparable a su prudencia. Sus defectos eran muy notorios: muy tímidos y, monógamos acérrimos (se casaban nada más superar la pubertad), muy celosos, hasta tal punto que si se enteraban de que su mujer les había engañado, al día siguiente de saberlo, ¡LA MATABAN!

Los BADMILKS se caracterizaban por las reivindicaciones permanentes sobre una parte del territorio ocupado por los SHYS: habían organizado todos los domingos manifestaciones reivindicativas cerca del campamento de éstos que degeneraban, indefectiblemente, en batallas campales en las que casi nunca llegaba la sangre al río.

Hasta tal punto llegó el mosqueo de los SHYS que, un sábado al amanecer, se encaminaron todos sus guerreros hacia el territorio de los BADMILKS a fin de dar a esta tribu un escarmiento tal que les dejase sin ganas de seguir con la monserga dominical. Sólo quedaron en su campamento los ancianos y los niños, además de las mujeres de los guerreros.

No contaron los SHYS con que una avanzadilla de HOTEGGS, famosos en todos aquellos confines por las notables dosis de seducción que ejercían sobre las mujeres, llegase a mediodía de ese funesto sábado a su campamento.

Para ser breve, diré que hubo allí unos cuántos líos de faldas entre las SHYS casadas y los atractivos HOTEGGS y que, al atardecer, dejaron unas cuantas caras risueñas y cuerpos relajados en el campamento. Aunque no todo fueron alegrías: un venerable anciano observó TODO lo que pasó allí, quedando escandalizado.

Al llegar los guerreros, esa misma noche, de su victoriosa escaramuza contra los BADMILKS, el anciano decidió inmediatamente darles a conocer la gran desgracia con suma discreción: a todos y cada uno de ellos les entregó, sin articular palabra, una lista en la que se encontraban los nombres de todas y cada una de las «alegres» mujeres excepto, en cada caso y si fuera una de ellas, la del receptor de la lista.

Los guerreros SHYS entendieron el mensaje y uno de ellos, GRAND-BULL, recogió su lista, que contenía cuatro nombres, y se sentó inmediatamente en la entrada de su tienda cavilando sobre si había sido engañado o no.

Antes de la medianoche del día de autos, ¡GRAND-BULL DEDUJO CÓMO Y CUÁNDO SABRÍA SI SU MUJER LE HABÍA ENGAÑADO O NO Y, ADEMÁS, DETERMINÓ EL DÍA EN QUE, EN CASO DE SER UNA MUJER INFIEL, TENDRÍA QUE MATARLA!

Postdata: Así me contaron la historia y así os la transmito. Le he dado vueltas durante mucho tiempo y me he rendido: no sé cómo, aún siendo tan inteligente, pudo deducir GRAND-BULL todo eso.

Las tres hijas

Propongo uno de los más bonitos problemas aritméticos que conozco. Con muy pocos datos puede determinarse la solución. Allá va:

las tres mellizasDos matemáticos se encuentran en la calle después de mucho tiempo sin verse.

– ¡Cuánto tiempo sin verte!
– ¡Vaya!, parece que fue ayer.
– Y qué, ¿te casaste?
– Si, tengo tres hijas preciosas.
– ¿Qué edad tienen?
– Pues no te voy a decir la edad que tiene cada una, pero sí te diré que el producto de sus edades es 36 y que la suma es el número de la casa de enfrente.

El amigo mira el número del portal y saca papel y lápiz. Hace unos cálculos y al cabo de unos segundos exclama:

– Me faltan datos.
– Sí, claro. La mayor toca el piano.

El amigo da inmediatamente la respuesta.

¿Serás tú capaz de darla tú también?

Oposiciones a ministro

Cuentan (y puede que no sea cierto) que, en un país europeo, la enseñanza estaba deteriorándose cada vez más, hasta el punto de que el propio futuro del país se veía muy oscuro (por no decir negrísimo).

op1Todos los ministros de Educación de los últimos años habían sido cesados o habían dimitido ante el desbarajuste educacional que existía de forma persistente. El último fue cesado de manera bochornosa, al no haber podido ni siquiera decir el número de analfabetos del país ante las cámaras de televisión: ‘¡Es que sólo se contar hasta un millón!’, había sido su burda excusa.

El Presidente de la nación, preocupadísimo ante este problema, ordenó constituir un Gabinete de Crisis, formado por los ministros más representativos del Gobierno, para estudiar posibles soluciones.

Después de dos meses de continuas deliberaciones, el Gabinete de Crisis propuso hacer un conjunto de pruebas al candidato a titular del Ministerio de Educación, para paliar, en principio, los problemas debidos a la total ignorancia de algunos de los ministros anteriores.

op2Tres meses más tarde, y después de acaloradas discusiones, el Gabinete de Crisis propuso a un Grupo de Expertos, según una idea original del Presidente, el diseño del examen, que debía constar de preguntas de Matemáticas fundamentalmente, para probar la inteligencia del aspirante, y de Inglés, debido a las intensas relaciones internacionales que mantenía el país.

Pasaron otros seis meses. El Grupo de Expertos había escrito las cuestiones del examen en su totalidad y el Gabinete de Crisis había dado el visto bueno. Y se fijó para un día del mes siguiente la fecha de celebración.

Nacho Valor, oscuro funcionario del Departamento de Asuntos Propios y afiliado al partido en el poder, fue propuesto por el Presidente para superar las pruebas.

Y el día esperado llegó por fin… Nacho Valor se presentó en la sala donde debía realizar el examen provisto de lápiz y goma de borrar, únicos utensillos permitidos según las bases publicadas en el Boletín Oficial de la Nación (coloquialmente, el BON). Y le dieron la hoja en donde debía contestar a las preguntas. Eran éstas:

examen

El semblante de Nacho se tornó poco a poco ceniciento conforme iba leyendo las pruebas y decidió seguir el orden prefijado en las cuestiones. Empezó, pues, con la primera. Y pensó: ‘Uno por nueve… uno por nueve… uno por nueveeeeeee…’. Lo sabía. Seguro que lo sabía, aunque ahora, con los nervios, no lo recordaba…

Al cabo de diez minutos consiguió recordar: ‘¡Claro!: UNO POR NUEVE ES NUEVE, ¿cómo iba a ignorar esta evidencia?…’. Lo anotó en el lugar correspondiente y continuó… Continuó casi media hora cavilando acerca de los otros productos, pero no consiguió ningún nuevo resultado.

Nervioso, pasó a la siguiente prueba con la esperanza de tener mejor suerte pero, al leerla, se desesperó: ¿Cómo voy a saber lo que son las diagonales si no dejan tener ni un mísero diccionario?. Y pasó a la última prueba. La leyó, se rió con esa desvergüenza que da la ignorancia y pensó: ‘¡de perdidos al río..!’. Y escribió: NO SÉ, pero «todo seguido» y sin acentos: ¡para qué malgastar espacios!

Esto se estaba convirtiendo en un suplicio. Decidió volver a la primera prueba y contar los fallos. Como no estaba seguro de su memoria iba anotando el número de fallos, a la derecha del signo igual de cada producto, al contarlos. Y llegó hasta el 9×9=, y puso un 8. ¡Ocho fallos!. Imposible. No podía ser. Seguro de haberse confundido volvió a contar los fallos, pero de abajo arriba, anotando también el número de fallos. Y, claro, llegó otra vez a 8 a la altura del 2×9=, que ya tenía el 1 del primer conteo de fallos.

En un ataque de furia hizo dos trazos rápidos sobre el rectángulo, con más intención de desahogarse que de tacharlo («¡esto no lo aprueba ni Dios!», debió pensar), quedando todo el examen como se ve a continuación:

exasol

EPÍLOGO
Ha pasado un año. El ministro de Educación, Excelentísimo Señor Don Nacho Valor, ha celebrado el primer aniversario de su toma de posesión, después de que superase brillantemente las pruebas a que fue sometido para acceder al cargo, inaugurando el Auditorio ‘Johan Sebastian Mastropiero‘, dedicado al eximio autor argentino de música clásica… ¿o es un clásico autor de música argentina? (no recuerdo)

Lados de un polígono regular

Ayer se planteó, en una página de Facebook, un interesante problema:

Si A, B, C y D son cuatro vértices consecutivos de un polígono regular tal  que 1/AB = 1/AC + 1/AD , ¿cuántos lados tiene este polígono?

Después de un buen rato conseguí resolverlo… incluso ya, con más tiempo, llegué a una solución realmente elegante. ¿Te atreves?