Cuadernos

Una librería ofrece cuadernos a 5 euros y realiza los siguientes descuentos:

• en una compra de hasta 35 cuadernos inclusive hace un descuento del 5%
• si se compran entre 36 y 55 cuadernos inclusive el descuento es del 12%
• si se compran 56 o más cuadernos, el descuento es del 20%

Pablo compró con un descuento del 5% y al día siguiente compró nuevamente, esta vez con un descuento del 12%.

Si Pablo hubiese comprado los cuadernos todos juntos, en una sola compra, le hubiese correspondido un descuento del 20% y habría gastado 39 euros menos de lo que gastó.

Determina cuántos cuadernos compró cada día.

Movimientos de gusano

Un gráfico consta de 16 vértices y algunos segmentos que los conectan, como en la imagen.

Hay un gusano en el vértice A y, en cada movimiento, puede moverse desde un vértice a cualquier vértice vecino a lo largo de un segmento de conexión.

¿En cuál o cuales de los vértices P, Q, R, S, T puede estar el gusano después de 2019 movimientos?

Solución al problema «El reparto del tesoro»

Esta es la solución del problema El reparto del tesoro, propuesto en la entrada del día 15 de septiembre:

Números poderosos

Un número es poderoso (powerful number)  si los cuadrados de sus divisores primos también son divisores suyos.

Por ejemplo, 36 es un número poderoso ya que los únicos primos que son divisores suyos son 2 y 3 y  2²=4 y 3²=9 también son divisores de 36.

La secuencia de números poderosos es la A001694 de OEIS:

1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, …

Curiosamente , existe también, en OEIS, el número de números poderosos menores o iguales que 10ⁿ, para n=0, 1, 2, … y es la secuencia A118896:

1, 4, 14, 54, 185, …

Los tres primeros términos de esta última secuencia se pueden obtener fácilmente de la anterior.

Analizando la definición, puede deducirse que

Todo número poderoso es el producto de un cuadrado y de un cubo: p=m²×n³, siendo m y n números naturales.

La afirmación anterior es también otra definición de número poderoso, y se puede ver la demostración de la equivalencia de las dos definiciones en esta página.

Además, la suma de los recíprocos de los números poderosos converge a 1,9435964

También, se puede afirmar que existen infinitos pares de números consecutivos poderosos : (8 , 9), (288 , 289) , (675 , 676 ) , … cuya sencilla demostración puede contemplarse en esta página. En ella también se demuestra que no puede haber cuatro consecutivos poderosos  y se comenta la conjetura de la existencia (o no) de tres consecutivos poderosos.

Otra página que demuestra la infinitud de parejas de consecutivos poderosos es esta.

En la página correspondiente de MathWorld aparecen enumeradas estas propiedades y puede ampliarse la información sobre los números.

Solución al problema «Hoteles»

Aquí está la solución del problema Hoteles, propuesto en la entrada del día 14 de septiembre:

Paralelo a la base

Sean ABC un triángulo isósceles con  AB = AC  y D el punto medio del lado BC.

La perpendicular a AC, trazada por D, corta al lado AC en E.

Sea F en AB tal que EF es paralela a BC.

Si BC =12 y CE = 4, calcula la medida del segmento EF.

Área del cuadrado inscrito

Un cuadrado tiene dos de sus vértices en una semicircunferencia y los otros dos en el diámetro de la misma, como se muestra en la figura.

El radio de la circunferencia es de 1 cm.

¿Cuál es el área del cuadrado?

Solución al problema «Proporción de superficies»

Tenemos aquí la solución del problema Proporción de superficies, propuesto en la entrada del día 12 de septiembre:

El mundo de los fractales

Precioso vídeo que explica, con detalle, qué son los fractales desde un punto de vista práctico y matemático hablando de alguna de sus características como son el perímetro y las dimensiones de estos objetos geométricos.

Disfrutad y aprended.

Solución al problema «Construcción de un cuadrado»

Esta es la solución del problema Construcción de un cuadrado, propuesto en la entrada del día 11 de septiembre: