El maravilloso 77

Todos los números naturales (y los que no lo son, también) tienen algo especial que los distingue de los demás.

Por ejemplo, el 77. En la página https://numero.wiki/77 se destacan todas sus particularidades, matemáticas o no, como que es resultado de la suma de los ocho primeros números primos:

Pero de todas sus propiedades hay una que lo hace especialmente único: todos los números naturales podemos descomponerlos en sumas de números naturales y, por lo general, siempre existe alguna de esas descomposiciones tal que la suma de sus recíprocos es la unidad.

Algunos ejemplos:

Pues bien, se demostró, a mitad del siglo pasado, que

77 es el mayor número natural que no posee esta propiedad: cualquier número superior a 77 tiene alguna descomposición en suma tal que la suma de los recíprocos de esos números es igual a la unidad.

Además, se probó también que el 77 no tenía una descomposición con las propiedad citada.

Esta propiedad hace único y especial al 77.

Suma de fracciones

La suma de fracciones tiene un algoritmo de resolución muy claro, aunque hay casos en los que se puede evitar.

Por ejemplo estos, vistos en el twitter de @potetoichiro:

Igualdades fraccionarias

En la pizarra están escritas tres fracciones iguales:

en las que se han usado exactamente una vez cada uno de los dígitos entre 1 y 9.

Se escriben otras tres fracciones iguales, en las mismas condiciones, y luego se reemplazan algunos de los dígitos por letras

Calcula la suma a + c + 7 + e

Fracciones periódicas gemelas

Dos fracciones periódicas con numerador unidad son gemelas si el denominador de cada una de ellas forma, con ceros iniciales, el periodo de la otra.

Algunos ejemplos:

En general,

dos fracciones 1/a y 1/b son gemelas si existe un número natural n tal que a×b=10ⁿ-1

Si lo anterior sucede, también son gemelas las parejas de fracciones 1/2a, 1/5b y 1/5a, 1/2b.

Fracciones irreducibles

Se lanzan dos dados y, con los números que aparecen, se forma una fracción menor o igual que uno.

¿Cuál es la probabilidad de que, en la próxima tirada, la fracción sea irreducible?

Reggaetón Apasionado

La asociación Reggaetón Apasionado celebra cada año su congreso anual con sus asociados y, este año, el 27,181818…%  de los asistentes eran hombres,  el 55,555…% eran personas mayores de 45 años y el 37% llevaban pantalones.

Sabiendo que el número de socios es menor de 15000, deduce el número de asistentes a ese congreso.

(los puntos suspensivos deben interpretarse como periodicidad de la parte decimal)

Fracción de sumas

Sean las sumas

Halla la fracción irreducible S/T

La función de las Palomitas (de maíz)

La conocida función de Dirichlet no es continua en ningún punto de su dominio  y se define así:

aunque los dos valores, 0 y 1, pueden sustituirse en la definición por otros dos, siempre que sean distintos entre sí.

Basada en la función anterior se define la función de Thomae de esta manera:

y es conocida, entre otros nombres, como función de las Palomitas debido a su curiosa representación gráfica:

Esta función es continua en todos los irracionales y discontinua en los racionales… y, ¡ojo!, no existe ninguna función en que suceda lo contrario: continuidad en los racionales y discontinuidad en los irracionales. En el enlace de la función se explica.

Dirichlet y Thomae fueron dos matemáticos que crearon estas funciones a los que deben su nombre.

Dígito decimal

Halla un número natural x tal que

donde a es un dígito.

Prueba matemática

En una prueba matemática para alumnos de primero y de segundo de ESO se puede participar individualmente o en equipos de 2, pero los equipos se deben formar con un participante de cada nivel.

Se sabe que 3/4 de los inscritos de primero y 2/5 de los inscritos de segundo participan en equipos de 2, y los restantes participan en forma individual.

Calcula qué proporción del total de participantes (de primero y segundo de ESO en conjunto) participan en forma individual.