Comenzando con un número entero positivo se construye una sucesión de números según la siguiente regla: cada término se obtiene restando al anterior el mayor cuadrado perfecto que es menor o igual que el término anterior, hasta llegar a cero.
Por ejemplo, si k=142 tenemos la sucesión 142, 21, 5, 1, 0 pues 21=142–121; 5=21–16; 1=5–4; 0=1–1.
Halla el menor k para que la sucesión tenga exactamente 9 términos.
El Sr. Potentado debe 5.000 millones de ecus al Estado.
Al inspector de Hacienda, que había ido expresamente a recordárselo, le comentó: «En orden creciente, tengo derecho a algunos descuentos en esta suma. Primero un descuento de un a% por los firlucios, luego un b% por haber modernizado mis fábricas con los krokos, luego el c% porque estoy en un sector de alta succión económica y finalmente un d% por bonos europeos de camelamen”, siendo todos los porcentajes números enteros positivos.
«¡Cierto!», admitió el inspector, “con todos los cálculos realizados, ¡sólo deberás 3.095.547.000 €! «
«Debes estar equivocado, creo que es bastante menos de 3 mil millones …»
«En absoluto», respondió el experto en la materia, «eres tú quien está en error al descontar (a+b+c+d)%. Lo que se debe hacer es calcular un a% de descuento en 5 mil millones, luego un descuento de b% de lo que nos queda, y así sucesivamente … ¡es distinto! «
¿Cuánto pensó elSr. Potentado que le debía al Estado?
Publicado en Álgebra, Nivel 2, Problemas
Etiquetado descomposición factorial, expresiones algebraicas, porcentajes
Aquí está la solución del problema El último examen, propuesto en la entrada del día 16 de agosto:
Publicado en Soluciones
Se llama número primo circular a todo aquel que genera exclusivamente números primos en toda permutación cíclica de sus dígitos.
Por ejemplo, 13 es primo circular porque 31 también es primo; 113 es primo circular porque 131 y 311 también son primos.
Por supuesto, si un número es primo circular también lo son todos los generados al permutar cíclicamente sus dígitos.
Una consecuencia inmediata de la definición es que ningún primo circular de más de una cifra puede contener dígitos pares ni el dígito 5. Es decir, solo pueden contener los dígitos 1, 3, 7 y 9.
Están descritos en la secuencia A068652 de OEIS, y los primeros primos circulares son
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 113, 131, 197, …
En esta página pueden obtenerse todos los menores de un millón.
Con la misma definición, pueden encontrarse primos circulares en otras bases de numeración distintas de la decimal, como se comenta en la página de Wikipedia.
En la página World Of Numbers se comenta con más detalle este concepto numérico, se les “emparenta” a estos números con otros de definición parecida y se afirma que no existen primos circulares de 10, 11 o 12 cifras, y que sería muy extraño encontrar alguno con un número superior de cifras salvo, evidentemente, que sean primos repunits.
Publicado en Combinatoria, Números
Etiquetado curiosidades, números primos, permutaciones cíclicas
Tenemos aquí la solución del problema Un castillo medieval, propuesto en la entrada del día 15 de agosto:
Publicado en Soluciones
Sea PQR un triángulo tal que ^P = 75o y ^Q = 60o.
Un hexágono regular ABCDEF, de lado 1, es interior al triángulo PQR con el lado AB sobre el lado PQ, el lado CD sobre el lado QR, el vértice E en el interior del triángulo PQR y el vértice F en el lado PR.
Halla la longitud del lado QR.
Publicado en Geometría, Nivel 2, Problemas, Trigonometría
Etiquetado fórmulas trigonométricas, teorema de los senos, triángulos
El logotipo de Mercedes Benz está formado por una estrella de tres puntas, con simetría central, rodeada por la circunferencia que pasa por sus tres vértices.
Si el ángulo que forman las puntas de las estrellas mide 15o, como se ve en la figura adjunta, ¿cuánto mide el ángulo señalado α?
Esta es la solución del problema La mitad del trapecio, propuesto en la entrada del día 13 de agosto:
Publicado en Soluciones
Este curioso vídeo es una secuencia de imágenes y fotografías donde aparece siempre la banda de Moebius, de la cual ya hemos hablado en estas páginas.
En esta secuencia visual se aprecia el atractivo que posee esta especial construcción topológica en nuestra cultura.
El vídeo se debe a Elina Gorbea Correa, siendo un trabajo realizado en sus estudios de Artes Visuales.
Aquí está la solución del problema Bolsas de canicas, propuesto en la entrada del día 12 de agosto:
Publicado en Soluciones
Sobre todo, Matemáticas 