Primos palindrómicos

Un primo en un triángulo

Sea p≥3 un número primo, y consideremos el triángulo rectángulo de cateto mayor p²–1 y cateto menor 2p.

Inscribimos en el triángulo un semicírculo cuyo diámetro se apoya en el cateto mayor y es tangente a la hipotenusa y al cateto menor del triángulo.

Encuentra los valores de p para los cuales el radio del semicírculo es un número entero.

La seducción de los números primos

Encantador monólogo de Laura Toribio, segundo premio de la final de Famelab España 2021.

Con la excusa de los “ligues” usa los números primos como hilo conductor del monólogo, definiéndolos y mostrando su importancia así como dando algún ejemplo de sus aplicaciones, y todo ello con muy “buen rollo”.

La secuencia de Hong Kong

Indica el siguiente término de la serie

Breve historia de números prohibidos

A lo largo de la Historia los números han representado ideas, formas, conceptos… que, en ocasiones, han perturbado el orden social por lo que, algunos de ellos y por muy diversas causas, se han prohibido en cuanto a su uso y/o escritura y han llegado a ser declarados números ilegales.

Parece absurdo pero es cierto, y en este vídeo se hace una revisión histórica muy breve de las causas por las que llegaron a esa condición.

Podéis ampliar información en estas páginas: 1 – 2 – 3

Dos primos

Sean p y q dos números primos menores que 100, no necesariamente distintos.

Sea n el número que resulta de escribir p y a continuación, a su derecha, escribir q.

Sea k el producto de p por q. Si n-k=208, halla p y q dando todas las posibilidades.

Primos factoriales

Un primo factorial es un número primo de la forma

Hasta la fecha, factoriales primos del tipo n!-1 se han encontrado 27 y la serie de valores de n que los determinan es la secuencia A002982 de OEIS.

El mayor primo factorial de estas características es 208003!-1, que tiene 1015843 dígitos. Fue descubierto en 2016.

Y factoriales primos del tipo n!+1 se han encontrado 21, siendo la serie de valores de n que los determinan es la secuencia A002981 de OEIS. En este caso, el primo 2 se repite en 0!+1 y 1!+1.

El mayor primo factorial de estas características es 150209!+1, que tiene 712354 dígitos. Fue descubierto en 2013.

En total, pues, se conocen por ahora 48 primos factoriales.

En un proyecto PrimeGrid se están buscando más. Si alguien lo desea, puede entrar en su página principal y colaborar en este u otros proyectos de búsqueda de números primos.

Soluciones

Determina todos los tríos (a, b, c) de números enteros positivos tales que

donde a, b y c son números primos y a≤2020.

Los π-primos

El número π da para mucho, y hay estudios anecdóticos sin cesar.

Uno de ellos es la obtención, a partir de la secuencia de sus dígitos desde el primero, de números primos.

Se les llama π-primos, y los cuatro primeros son

y están referenciados en la secuencia A005042 de OEIS, donde se indican otras series relacionadas.

El siguiente número de la serie posee 16208 dígitos; los siguientes poseen respectivamente 4757, 78073 y 613373 dígitos. Este último fue descubierto en el año 2016. Evidentemente, ninguno de ellos cabe aquí.

En esta página de MathWorld se comenta lo dicho y alguna otra curiosidad más.

Números de Proth

Un número natural se dice número de Proth si es de la forma

 Siendo k, n números naturales tales que k<2ⁿ y k impar.

Sin la condición de desigualdad, todos los números naturales impares mayores que 1 serían números de Proth.

Para el caso de k=1 y n una potencia de 2 se obtienen los números de Fermat, y si k=n, siendo este cualquier natural, se llaman números de Cullen.

La serie de los primeros números de Proth es la A080075 de OEIS:

P_1,1=2¹+1=3; P_1,2=2²+1=5; P_1,3=2³+1=9; P_3,2=3×2²+1=13; P_1,4=2⁴+1=17; …

La primalidad de los números de Proth puede determinarse a través del teorema de Proth, que dice que

un número de Proth es primo si, y solo si, existe un natural k tal que k^(n-1)/2≡-1(mod n)

La serie de números primos de Proth es la A080076 de OEIS y el primo de Proth más grande conocido es 10223×2^31172165+1, que posee 9383761 dígitos.