Archivo de la etiqueta: números primos

Reparto de naipes

Tres de las cinco cartas que se muestran a continuación se le dan a Pedro y el resto a Pablo.

Si Pedro multiplica los 3 valores de sus cartas y Pablo los 2 de las suyas, la suma de los dos productos obtenidos es un número primo.

 ¿Cuál es la suma de los valores de las cartas de Pedro?

Anuncios

Números primos de Wilson

El matemático inglés del siglo XVIII John Wilson enunció como conjetura el teorema que lleva su nombre, que dice que

si p es un número primo, entonces (p − 1)! ≡ -1 (mod p)

De otra manera, todo número primo p es divisor del número (p − 1)! + 1

Parece ser que fue Lagrange quien consiguió demostrarlo en 1771 y, en realidad, el teorema fue enunciado en primer lugar por Alhacén en el siglo X.

Además el recíproco del teorema también es cierto por lo que es una de las afirmaciones que caracteriza la primalidad de un número.

Por similitud al enunciado del teorema citado, se define número primo de Wilson como

el primo p tal que p2 es divisor del número (p − 1)! + 1

Solo son conocidos, hasta la fecha, tres de esos primos:

5, 13, 563

que son los tres primeros de la sucesión A007540 de OEIS.

Si existen más, y se cree que hay infinitos, estos deben ser mayores de 2×1013 como se demuestra en este documento.

Otras definiciones generalizan este concepto.

Cuadrados mágicos de primos

En Futility Closet encontramos un cuadrado mágico de números primos

muy especial: sumando 30 a cada uno de los números, obtenemos un nuevo cuadrado mágico de números primos

Incluso, si volvemos a sumar 1092 a cada número de este último cuadrado, tenemos un tercer cuadrado mágico de números primos

En la página citada se encuentran las referencias originales de donde se ha obtenido esta información.

Primoriales

Así como el factorial de un número natural se define como el producto de todos los números menores o iguales que él y se escribe n!, el primorial  de un número natural es el producto de todos los números primos menores o iguales que él

Se escribe n# y, axiomáticamente, se definen también 0# = 1# = 1

Los primeros primoriales son

y en http://oeis.org/A034386 se tiene la secuencia OEIS de los números primoriales y varias referencias.

Observemos la diferencia de crecimiento en el valor de los factoriales y de los primoriales en la gráfica adjunta, siendo el crecimiento de los factoriales mucho más acusado.

Este concepto es en el que se fundamenta la demostración del teorema de Euclides que dice que existen infinitos números primos.

Como curiosidad añadida, otro de los teoremas en los que aparecen los primoriales es el siguiente: todo número altamente compuesto se puede expresar como producto de primoriales.

Por ejemplo, 360 = 2# x 3# x 5# y 5040 = 2# x 2# x 3# x 7#

Emirps

Un emirp (prime  al revés) es un número primo tal que no es capicúa y el número escrito con sus cifras en orden inverso es también primo.

El primero de todos ellos es el 13, y la serie de estos números es la secuencia A006567 de OEIS

Aquí se muestran los emirps menores de 100:

en esta página se encuentran los 11200 primeros, el más grande de los cuales es 1039001

Como curiosidad añadida, el emirp más grande conocido,  y descubierto en 2007, es

1010006 + 941992101 × 104999 + 1

En castellano podemos llamarlos omirps o primos reversibles como en Gaussianos, en donde se cuenta alguna curiosidad más sobre dichos números.

El problema de Sierpinski

Eduardo Sáenz de Cabezón, divulgador matemático asiduo en estas páginas, nos habla (a través de su canal Derivando) del problema de Sierpinski, matemático polaco conocido, entre otras cosas, por sus famosos fractales.

Un número de Sierpinski es un número natural impar k  tal que todos los números naturales de la forma k2n + 1 son compuestos (no son números primos) para cualquier natural n

El problema consiste en determinar el menor número de Sierpinski, y aún no está resuelto. El propio Sierpìnski (y otro matemático llamado John Selfridge) conjeturó que el número 78557 era el menor.

Usando potentes ordenadores se han rechazado todos los impares más pequeños que él excepto cinco de ellos, con los cuales se sigue trabajando para admitir alguno o rechazar todos y hacer buena la conjetura.

Curioso.