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¿Primos?

¿Es posible escribir los 11 números desde 1985 hasta 1995 en algún orden de modo que el número de 44 cifras que se obtiene resulte primo?

Primos al cuadrado

El cuadrado de todo número primo n, mayor de 3, es del tipo n2 = 24m + 1 siendo m un número natural

En efecto, hacemos n2–1=(n–1)×(n+1) siendo n un número primo mayor de 3.

Como n es primo mayor que 3, n2 es impar luego n2–1 es par, concluyendo que tanto n–1 como n+1 son números pares.

Al ser estos últimos pares consecutivos, uno es con seguridad múltiplo de 4, luego el producto (n–1)×(n+1) es múltiplo de 8.

Además, cada tres números consecutivos n–1, n, n+1, uno de ellos debe ser múltiplo de 3 y, como n es primo, lo debe ser n–1 o n+1 y, entonces, (n–1)×(n+1) es múltiplo de 3.

Concluyendo y según los dos resultados anteriores, n2–1=(n–1)×(n+1) es múltiplo de 8×3= 24 por lo que n2–1=(n–1)×(n+1)=24m  y entonces n2=24m+1, c.q.d.

Solo primos

Utilizando exclusivamente números primos se forma un conjunto con las siguientes condiciones:

  • Cualquier número primo de una cifra puede estar en el conjunto.
  • Para que un número primo de más de una cifra esté en el conjunto, deben estar en el conjunto el número que resulta de suprimirle sólo la primera cifra y también el número que resulta de suprimirle sólo la última cifra.

Escribe, de los conjuntos que cumplen estas condiciones, el que tiene mayor cantidad de elementos.

Dos naturales

Sean A y B dos números naturales de tres cifras cada uno.

Si se escriben las cifras de A a continuación de las cifras de B se obtiene un número de seis cifras que es igual a 6 veces el número de seis cifras que se obtiene al escribir las cifras de B a continuación de las de A.

Halla A y B.

Primos e impares

Sean p=2×3×5×7×11×13×… el producto de todos los números primos hasta 2020 y q=3×5×7×9×11×13×… el producto de todos los números impares hasta 2020.

Halla la penúltima cifra de la derecha del producto p×q.

El mayor primo ondulado

Sabiendo qué son los números primos, números capicúas y números ondulados.