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Primoriales

Así como el factorial de un número natural se define como el producto de todos los números menores o iguales que él y se escribe n!, el primorial  de un número natural es el producto de todos los números primos menores o iguales que él

Se escribe n# y, axiomáticamente, se definen también 0# = 1# = 1

Los primeros primoriales son

y en http://oeis.org/A034386 se tiene la secuencia OEIS de los números primoriales y varias referencias.

Observemos la diferencia de crecimiento en el valor de los factoriales y de los primoriales en la gráfica adjunta, siendo el crecimiento de los factoriales mucho más acusado.

Este concepto es en el que se fundamenta la demostración del teorema de Euclides que dice que existen infinitos números primos.

Como curiosidad añadida, otro de los teoremas en los que aparecen los primoriales es el siguiente: todo número altamente compuesto se puede expresar como producto de primoriales.

Por ejemplo, 360 = 2# x 3# x 5# y 5040 = 2# x 2# x 3# x 7#

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Emirps

Un emirp (prime  al revés) es un número primo tal que no es capicúa y el número escrito con sus cifras en orden inverso es también primo.

El primero de todos ellos es el 13, y la serie de estos números es la secuencia A006567 de OEIS

Aquí se muestran los emirps menores de 100:

en esta página se encuentran los 11200 primeros, el más grande de los cuales es 1039001

Como curiosidad añadida, el emirp más grande conocido,  y descubierto en 2007, es

1010006 + 941992101 × 104999 + 1

En castellano podemos llamarlos omirps o primos reversibles como en Gaussianos, en donde se cuenta alguna curiosidad más sobre dichos números.

El problema de Sierpinski

Eduardo Sáenz de Cabezón, divulgador matemático asiduo en estas páginas, nos habla (a través de su canal Derivando) del problema de Sierpinski, matemático polaco conocido, entre otras cosas, por sus famosos fractales.

Un número de Sierpinski es un número natural impar k  tal que todos los números naturales de la forma k2n + 1 son compuestos (no son números primos) para cualquier natural n

El problema consiste en determinar el menor número de Sierpinski, y aún no está resuelto. El propio Sierpìnski (y otro matemático llamado John Selfridge) conjeturó que el número 78557 era el menor.

Usando potentes ordenadores se han rechazado todos los impares más pequeños que él excepto cinco de ellos, con los cuales se sigue trabajando para admitir alguno o rechazar todos y hacer buena la conjetura.

Curioso.

Un enorme primo capicúa

Si escribimos la secuencia numérica 1808010808 1560 veces seguidas y, al final, le añadimos un 1 obtenemos

EL NÚMERO

Este número, de 15601 dígitos,

ES PRIMO Y

es un

CAPICÚA

Es decir, se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda.

El uno en fracciones

En Curiosa Mathematica se expone la manera de escribir el número 1 como una suma de 48 fracciones diferentes, donde cada numerador es 1 y cada denominador es un producto de dos primos:

A las fracciones cuyo numerador es 1 se les llama fracciones unitarias o egipcias, debido al uso común que existía, en esa civilización, de este tipo de fracciones. Todos los números racionales se pueden escribir como suma de fracciones egipcias y así los escribían los egipcios para los cálculos.

Pues bien, según una conjetura de Paul Erdös, cualquier número natural puede descomponerse en suma de fracciones egipcias tales que cada denominador es producto de tres primos distintosEste artículo la comenta.

Fue demostrada por Ronald L. Graham y Steve Butler y está intimamente relacionada con el Problema de Erdös-Graham.