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El mayor primo ondulado

Sabiendo qué son los números primos, números capicúas y números ondulados.

Absoluto primo

¿Para qué valores enteros n el número

es primo?

Números ondulados

Un número ondulado es aquel entero no negativo que posee dos dígitos diferentes que se alternan en su construcción. Esto es, los de la forma ababab…

También se llaman ondulados a todos los de una cifra y los de dos cifras distintas entre sí pues no rompen la norma de construcción, aunque estrictamente se tendrían que declarar como ondulados a los que cumplen con la definición anterior a partir de tres cifras.

Estos últimos forman la secuencia A046075 de OEIS:

101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191, 202, 212, …

La secuencia que incluye a los números menores de 100 es la A033619:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, …

También, los cuadrados ondulados se encuentran en la secuencia A016073:

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 121, 484, 676, 69696, …

Y, por supuesto, los números que son raíces cuadradas de los anteriores están en la secuencia A122875:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 22, 26, 264, …

Se sabe, a través del conocido divulgador científico Clifford. A. Pickover, que la única potencia estrictamente ondulada (con más de dos dígitos) que tiene un máximo de 100 dígitos y exponente mayor que 2 y menor que 31 es 343=73

Por cierto, y hablando de primos, los primos ondulados aparecen en la secuencia A032758. Se muestran aquí los de tres cifras o más:

101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, …

Números ondulados binarios y alguna curiosidad más en MathWorld.

Números poderosos

Un número es poderoso (powerful number)  si los cuadrados de sus divisores primos también son divisores suyos.

Por ejemplo, 36 es un número poderoso ya que los únicos primos que son divisores suyos son 2 y 3 y  22=4 y 32=9 también son divisores de 36.

La secuencia de números poderosos es la A001694 de OEIS:

1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, …

Curiosamente , existe también, en OEIS, el número de números poderosos menores o iguales que 10n, para n=0, 1, 2, … y es la secuencia A118896:

1, 4, 14, 54, 185, …

Los tres primeros términos de esta última secuencia se pueden obtener fácilmente de la anterior.

Analizando la definición, puede deducirse que

Todo número poderoso es el producto de un cuadrado y de un cubo: p=m2×n3, siendo m y n números naturales.

La afirmación anterior es también otra definición de número poderoso, y se puede ver la demostración de la equivalencia de las dos definiciones en esta página.

Además, la suma de los recíprocos de los números poderosos converge a 1,9435964

También, se puede afirmar que existen infinitos pares de números consecutivos poderosos : (8 , 9), (288 , 289) , (675 , 676 ) , … cuya sencilla demostración puede contemplarse en esta página. En ella también se demuestra que no puede haber cuatro consecutivos poderosos  y se comenta la conjetura de la existencia (o no) de tres consecutivos poderosos.

Otra página que demuestra la infinitud de parejas de consecutivos poderosos es esta.

En la página correspondiente de MathWorld aparecen enumeradas estas propiedades y puede ampliarse la información sobre los números.

Superprimos

Un número es superprimo si es primo y, además, ocupa una posición prima en la lista de números primos. También se les llama primos primo-indexados.

La secuencia de superprimos está documentada en A006450 de OEIS:

3, 5, 11, 17, 31, 41, 59, 67, 83, 109, 127, …

En esta página se muestra un código en Python que permite obtener los 50 primeros superprimos.

En esta otra página, prime-numbers, se da más información y se presenta un vídeo que visualiza, paso a paso, los superprimos menores de un millón.

El 7 y ninguno más

El canal de matemáticas MathArg Papers nos ofrece un vídeo en el que se demuestra una propiedad única del número primo 7:

El 7 es el único primo que está seguido por un cubo.

La demostración es elegante y sencilla, accesible para cualquier amante de las matemáticas.