Expresión trigonométrica

Si

calcula

El romance de la derivada y el arcotangente

Veraneaba una derivada enésima en un pequeño chalet, situado en la recta del infinito del plano de Gauss, cuando conoció a un arcotangente simpatiquísimo y de espléndida representación gráfica que, además, pertenecía a una de las mejores familias trigonométricas…

Enseguida notaron que tenían propiedades comunes. Un día, en casa de una parábola que había ido a pasar allí una temporada con sus ramas alejadas, se encontraron en un punto aislado de ambiente muy íntimo. Se dieron cuenta que convergían hacia límites cuya diferencia era tan pequeña como se quisiera: había nacido un romance. Acaramelados en un entorno de radio épsilon, se dijeron mil teoremas de amor.

Cuando el verano pasó, y las parábolas habían vuelto al origen, la derivada y el arcotangente eran novios. Entonces, empezaron los largos paseos por las asíntotas siempre unidos por un punto común, los interminables desarrollos en serie bajo los conoides llorosos del lago, las innumerables sesiones de proyección ortogonal… Hasta fueron al circo, donde vieron a un tropel de funciones logarítmicas dar saltos infinitos en sus discontinuidades. En fin, lo que eternamente hacían los novios.

Durante un baile organizado por unas cartesianas, primas del arcotangente, la pareja pudo tener el mismo radio de curvatura en varios puntos. Las series melódicas eran de ritmos uniformemente crecientes y la pareja giraba entrelazada alrededor de un mismo punto doble. Del amor había nacido la pasión.

Enamorados locamente, sus gráficas coincidían en más y más puntos. Con el beneficio de las ventas de unas fincas que tenía en el campo complejo, el arcotangente compró un recinto cerrado en el plano de Riemann. En la decoración se gastó hasta el último infinitésimo. Adornó las paredes con unas tablas de potenciales de «e» preciosas y puso varios cuartos de divisiones del término independiente que costaron una burrada.

Empapeló las habitaciones con las gráficas de las funciones más conocidas, y puso varios paraboloides de revolución chinos de los que surgían desarrollables tangenciales en flor. Y Bernouilli le prestó su lemniscata para adornar su salón durante los primeros días. Cuando todo estuvo preparado el arcotangente se trasladó al punto impropio y contempló satisfecho su dominio de existencia.

Varios días después fue en busca de la derivada de orden n y, cuando llevaban un rato charlando de variables arbitrarias, le espetó sin más: «¿Por qué no vamos a tomar unos neperianos a mi apartamento? De paso lo conocerías, ha quedado monísimo». Ella, a la que le quedaba muy poco para anularse y tras una breve discusión del resultado, aceptó.

El novio le enseñó su dominio y quedó integrada. Los neperianos y una música armónica simple hicieron que entre sus puntos existiera una correspondencia unívoca. Unidos así miraron al espacio euclídeo. Los asteroides rutilaban en la bóveda de Viviany… ¡eran felices!

– «¿No sientes calor?» Dijo ella.
– «Yo sí, ¿y tú?».
– «Yo también».
– «Ponte en forma canónica. Estarás más cómoda».

Entonces él le fue quitando constantes y, después de artificiosas operaciones, la puso en paramétricas racionales.

– «¿Qué haces? Me da vergüenza….» dijo ella.
– «Te amo, ¡yo estoy inverso por ti….!».
– «Déjame besarte la ordenada en el origen….¡No seas cruel!…..¡ven!.».
– «Dividamos por un momento la nomenclatura ordinaria y tendamos juntos al infinito.».

Él le acarició sus máximos y sus mínimos y ella se sintió descomponer en fracciones simples.

Al cabo de algún tiempo, la derivada enésima perdió su periodicidad. Posteriores análisis algebraicos demostraron que su variable había quedado incrementada y su matriz era distinta de cero. Ella le confesó a él, saliéndole los colores «voy a ser primitiva de otra función». Él la respondió: «podríamos eliminar el parámetro elevando al cuadrado y restando». «Eso es que ya no me quieres». «No seas irracional, claro que te quiero. Nuestras ecuaciones formarán una superficie cerrada, confía en mi».

La boda se preparó en un tiempo diferencial de «t», para no dar que hablar en el círculo de los 9 puntos. Los padrinos fueron el padre de la novia, un polinomio lineal de exponente entero, y la madre del novio, una curva de doble asíntota. La novia lucía coordenadas cilíndricas de Satung y velo de puntos imaginarios. Ofició la ceremonia Cayley, auxiliado por Pascal y el nuncio S.S. Monseñor Ricatti.

Hoy día el arcotangente tiene un buen puesto en una fábrica de series de Fourier y ella cuida en casa de cinco lindos términos de menor grado, producto cartesiano de su amor.

Libro 18 de problemas

Está dispuesto, para descarga y/o lectura, el libro 18 de la colección de problemas que aparecen en estas páginas con sus correspondientes soluciones.

El libro se puede descargar  en esta dirección:

Libro 18

o a través, como siempre, de la página de la colección de libros de problemas de esta web.

Cálculo con raíces

Si

halla, en función de p, el valor de

Medidas del triángulo

Halla los valores de x para que los segmentos de longitudes 3x-5, 2x-4 y x+6 formen un triángulo.

El problema de los cien prisioneros

El acertijo de los 100 prisioneros parece completamente imposible incluso cuando se conoce la respuesta.

Hay 100 prisioneros, numerados correlativamente de 1 a 100, y 100 cajones, también numerados de 1 a 100, dispuestos en una sala, separada del lugar en donde están los reclusos, de manera que cada cajón contiene uno de los números que designa a cada prisionero.

Cada prisionero entra en la sala por separado y busca su número abriendo no más de 50 cajones y sale, dejando la habitación en las mismas condiciones de como la encontró.

Si cada uno de los 100 prisioneros descubre su número, sobrevivirán todos; si alguno de ellos no lo encuentra, todos morirán.

  Un prisionero no puede comunicarse con los demás prisioneros, excepto en el debate previo de la estrategia.

El asunto es encontrar la estrategia más óptima para salvarse todos ellos.

Este problema es un clásico de la teoría de la probabilidad y se explica y resuelve con mucha claridad en este vídeo de Veritasium:

Valor de una fracción polinómica

Si

halla el valor de

Cuatrocientas bolas

Se tienen 400 bolas con los números del 1 al 400, sin repeticiones.

Se colocan las bolas en dos cajas, A y B, con la siguiente condición: si se multiplican los números de todas las bolas de la caja A, el resultado no es múltiplo de 6.

Determina la mayor cantidad de bolas que se puede colocar en la caja A.

π según Vieta

La primera fórmula de π que indica su valor exacto fue planteada en 1593 y es debida al matemático francés François Viète:

o, de otra forma,

Su construcción la realizó con desarrollos trigonométricos a partir de áreas de polígonos regulares inscritos en un círculo.

Esta página de Gaussianos amplía información y explica una deducción sencilla de la fórmula.

Límite

Calcula