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Patrones geométricos en las potencias

En mathrecreation hay un estudio sobre los patrones secuenciales que determinan los últimos dígitos de las sucesivas potencias de los números naturales con exponente natural.

En ese artículo se plasman, en grafos, los patrones cíclicos que determinan algunos ejemplos del estudio… y me acordé de los artículos publicados en esta web sobre los primversos.

Realizando un trabajo similar sobre la misma “rueda de dígitos” (con un pequeño giro), he representado gráficamente los patrones cíclicos que determinan los últimos dígitos de las sucesivas potencias de los diez dígitos del sistema decimal… y ha aparecido esto:

Recuerda a los patrones de los primversos  y, lo más importante, muestra asombrosas simetrías dentro de los propios gráficos y al relacionarlos de dos en dos.

Otro argumento más para justificar la belleza y la magia de las Matemáticas.

La simetría, las simetrías

En una interesante charla de TED el famoso matemático y divulgador Marcus du Sautoy habla sobre la ubicuidad de la simetría en la vida real: el mundo gira alrededor de la simetría, aunque la forma de hacerlo es más compleja de lo que parece a simple vista.

Y nos descubre, inevitablemente, a Galois como el creador de la manera de estudiar y organizar matemáticamente las distintas simetrías sobre un mismo objeto.

 

Hans Kuiper y los 17 grupos de simetría

Existen exactamente 17 tipos diferentes de crear teselaciones y cada uno de ellos es una combinación de  movimientos del plano.

17simetriasEstos tipos, llamados grupos de simetría, se muestran en la imagen adjunta y cado uno se identifica con una abreviatura concreta.

P1: Dos traslaciones
P2: Tres simetrías centrales
P3: Dos giros de 120º
P4: Una simetría central y un giro de 90º
P6: Una simetría central y un giro de 120º
PM: Dos simetrías axiales y una traslación
PMM: Cuatro simetrías axiales en los lados de un rectángulo
PMG: Una simetría axial y dos simetrías centrales
CMM: Dos simetrías axiales perpendiculares y una simetría central
P31M: Una simetría axial y un giro de 120º
P3M1: Tres simetrías axiales en los lados de un triángulo equilátero
P4G: Una simetría axial y un giro de 90º
P4M: Tres simetrías axiales en los lados de un triángulo de ángulos 45-45-90
P6M: Tres simetrías axiales en los lados de un triángulo de ángulos 30-60-90
CM: Una simetría axial y una simetría con deslizamiento perpendicular
PG: Dos simetrías con deslizamiento paralelas
PGG: Dos simetrías con deslizamiento perpendiculares

 

Toda la información relativa a estos 17 grupos de simetría en el plano podéis encontrarla en esta página.

El artista holandés Hans Kuiper, dedicado al arte digital, ha estudiado estos grupos y creado obras como estas:

hk

Para admirar más obras de su autoría, clasificadas y explicadas, deberéis entrar en su página pulsando en la imagen anterior o en este enlace.

Techos sagrados

Los edificios religiosos (catedrales e iglesias, mezquitas, stupas, …) presentan en sus estructuras, a lo largo de la historia, numerosos avances científicos, tanto desde el punto de vista de ingeniería arquitectónica como desde el  físico y/o matemático y artístico, mostrando, en muchos casos, los conocimientos y sensibilidades artísticas de las civilizaciones que los construían.

Las religiones sirven de excusa para dejar constancia de maravillas arquitectónicas que dan cuenta del conocimiento de cada época.

Presentamos aquí la obra de dos fotógrafos actuales que se dedican a recopilar imágenes de techos de iglesias y mezquitas de todas las épocas mostrando la belleza de la geometría y las simetrías en ellos presente.

El iraní Mehrdad Rasoulifard lo hace con los de las mezquitas y aquí se muestran ejemplos

mehrdad

Pueden admirarse más en su cuenta de Instagram, y en otras páginas como esta y esta.

Y el neoyorquino Richard Silver con los de iglesias cristianas, como en estas fotografías.

silver

Abundantes ejemplos podéis admirar en su web personal y en esta página.

El arte matemático de Conan Chadbourne

Conan Chadbourne es un artista estadounidense, nacido en 1978, licenciado en Matemáticas y Física por la Universidad de Nueva York. Vive en San Antonio donde trabaja como diseñador y productor de cine documental independiente y ha trabajado también con imagen digital y diseño gráfico.

Sus obras son, fundamentalmente, diseños de impresión de estructura matemática y, habitualmente, simétrica como éste:

cch

llamado “Plan de Inclusión enigmático I” (archivo de impresión de inyección de tinta de 2013) en el que investiga sobre  la estructura de subgrupo del grupo icosaédrico.

Admirad sus colecciones en su página.