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El uno en fracciones

En Curiosa Mathematica se expone la manera de escribir el número 1 como una suma de 48 fracciones diferentes, donde cada numerador es 1 y cada denominador es un producto de dos primos:

A las fracciones cuyo numerador es 1 se les llama fracciones unitarias o egipcias, debido al uso común que existía, en esa civilización, de este tipo de fracciones. Todos los números racionales se pueden escribir como suma de fracciones egipcias y así los escribían los egipcios para los cálculos.

Pues bien, según una conjetura de Paul Erdös, cualquier número natural puede descomponerse en suma de fracciones egipcias tales que cada denominador es producto de tres primos distintosEste artículo la comenta.

Fue demostrada por Ronald L. Graham y Steve Butler y está intimamente relacionada con el Problema de Erdös-Graham.

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Dígitos secuenciados

Empezando con 46 se forma una secuencia de dígitos colocando en cada paso, a continuación del ultimo número escrito, el producto de los dos últimos dígitos que se escribieron.

Los primeros dígitos pueden verse en la imagen adjunta.

Calcula el dígito que está en la posición 1089

Múltiplos de 36

¿Cuántos números naturales de 4 cifras terminan en 36 y son múltiplos de 36?

Symbolab

Ya hemos mostrado algunas calculadoras online que aparecen en la Red pero esta es, quizás, la más completa con permiso de WolframAlpha

Es una calculadora simbólica que abarca todas las áreas básicas de las matemáticas  (álgebra, geometría y trigonometría, funciones y gráficas, cálculo infinitesimal)

En la imagen se puede observar la obtención de la expresión de la derivada segunda de logx22, teniendo la posibilidad de mostrar el cálculo paso a paso.

Es muy aconsejable y está traducida en muchos idiomas. El español no está muy desarrollado pero se sigue muy bien.

La página es

Symbolab

pudiendo acceder a ella, también, pulsando en la imagen.

Con tres capicúas basta

El matemático español Javier Cilleruelo, que fue profesor de la Universidad Autónoma de Madrid y miembro del Instituto de Ciencias Matemáticas (fallecido hace dos años), junto con Florian Luca y Lewis Baxter, demostró que

cada número natural es la suma, como máximo, de 3 números naturales cuya representación en una base, mayor o igual a 5, es un capicúa

quedando los casos de bases B = 2, 3, 4 sin resolver.

Por ejemplo, en base 10,

389 = 11 + 55 + 323

Hemos llegado a usar una aplicación online  que descomponía los números, en base decimal, según el teorema indicado en esta dirección. Ya no nos funciona pero obtuvimos, por ejemplo, que

Recientemente se ha demostrado que esta afirmación también vale para las bases B = 3 y 4, siendo necesario un mínimo de 4 capicúas para la base binaria.

Más información en este enlace.