El matemático inglés del siglo XVIII John Wilson enunció como conjetura el teorema que lleva su nombre, que dice que
si p es un número primo, entonces (p − 1)! ≡ -1 (mod p)
De otra manera, todo número primo p es divisor del número (p − 1)! + 1
Parece ser que fue Lagrange quien consiguió demostrarlo en 1771 y, en realidad, el teorema fue enunciado en primer lugar por Alhacén en el siglo X.
Además el recíproco del teorema también es cierto por lo que es una de las afirmaciones que caracteriza la primalidad de un número.
Por similitud al enunciado del teorema citado, se define número primo de Wilson como
el primo p tal que p2 es divisor del número (p − 1)! + 1
Solo son conocidos, hasta la fecha, tres de esos primos:
5, 13, 563
que son los tres primeros de la sucesión A007540 de OEIS.
Si existen más, y se cree que hay infinitos, estos deben ser mayores de 2×1013 como se demuestra en este documento.
Otras definiciones generalizan este concepto.
