Cálculos palindrómicos

Conocemos los números palindrómicos o capicúas: los que se leen igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda, como 33, 292, 1001, 84548, …

En base a este concepto, desde Futility Closet se pueden definir cálculos palindrómicos como aquellos en los que aparecen números operados en cierto orden y cuyo resultado es otro número que tiene todas las cifras escritas en orden inverso a como están colocadas en la operación, y se dan algunos ejemplos:

¿Conocéis algún otro cálculo palindrómico distinto de los anteriores?

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El problema de Sierpinski

Eduardo Sáenz de Cabezón, divulgador matemático asiduo en estas páginas, nos habla (a través de su canal Derivando) del problema de Sierpinski, matemático polaco conocido, entre otras cosas, por sus famosos fractales.

Un número de Sierpinski es un número natural impar k  tal que todos los números naturales de la forma k2ⁿ + 1 son compuestos (no son números primos) para cualquier natural n

El problema consiste en determinar el menor número de Sierpinski, y aún no está resuelto. El propio Sierpìnski (y otro matemático llamado John Selfridge) conjeturó que el número 78557 era el menor.

Usando potentes ordenadores se han rechazado todos los impares más pequeños que él excepto cinco de ellos, con los cuales se sigue trabajando para admitir alguno o rechazar todos y hacer buena la conjetura.

Curioso.

Cálculo rápido de potencias de 2

Aprovechando que el valor de la décima potencia de 2 es aproximadamente la tercera potencia de 10,

2¹⁰ = 1024 ≈ 1000 = 10³

podemos establecer una fórmula para calcular rápidamente una aproximación bastante sólida a cualquier potencia de 2.

Por ejemplo, aplicando las propiedades de las potencias,

2⁴³ = 2³ × 2⁴⁰ = 2³ × (2¹⁰)⁴ ≈ 2³ × (10³)⁴ = 2³ × 10¹² = 8.000.000.000.000

y así, en general, puede obtenerse de manera rápida el valor aproximado:

Un enorme primo capicúa

Si escribimos la secuencia numérica 1808010808 1560 veces seguidas y, al final, le añadimos un 1 obtenemos

EL NÚMERO

Este número, de 15601 dígitos,

ES PRIMO Y

es un

CAPICÚA

Es decir, se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda.

Un corolario del teorema de Ptolomeo

El teorema de Ptolomeo dice que

En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia, la suma de los productos de los pares de lados opuestos es igual al producto de sus diagonales.

Si se observa la imagen adjunta, el teorema dice que

a.c+b.d=e.f

y aquí está la demostración.

Una consecuencia inmediata de este teorema es este curioso resultado:

Dado un triángulo equilátero inscrito en un círculo y un punto P del círculo, la distancia desde el punto al vértice más distante del triángulo es igual a la suma de las distancias desde el punto a los dos vértices más cercanos.

Esto es, según la imagen adjunta,

p=m+n

La demostración es muy sencilla: aplicando el teorema de Ptolomeo al cuadrilátero ABPC, se cumple que

a.m+a.n=a.p

y, simplificando la igualdad, obtenemos el resultado esperado.