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Números ondulados

Un número ondulado es aquel entero no negativo que posee dos dígitos diferentes que se alternan en su construcción. Esto es, los de la forma ababab…

También se llaman ondulados a todos los de una cifra y los de dos cifras distintas entre sí pues no rompen la norma de construcción, aunque estrictamente se tendrían que declarar como ondulados a los que cumplen con la definición anterior a partir de tres cifras.

Estos últimos forman la secuencia A046075 de OEIS:

101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191, 202, 212, …

La secuencia que incluye a los números menores de 100 es la A033619:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, …

También, los cuadrados ondulados se encuentran en la secuencia A016073:

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 121, 484, 676, 69696, …

Y, por supuesto, los números que son raíces cuadradas de los anteriores están en la secuencia A122875:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 22, 26, 264, …

Se sabe, a través del conocido divulgador científico Clifford. A. Pickover, que la única potencia estrictamente ondulada (con más de dos dígitos) que tiene un máximo de 100 dígitos y exponente mayor que 2 y menor que 31 es 343=73

Por cierto, y hablando de primos, los primos ondulados aparecen en la secuencia A032758. Se muestran aquí los de tres cifras o más:

101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, …

Números ondulados binarios y alguna curiosidad más en MathWorld.

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Números cómplices

En el Proyecto Newton, un estupendo blog canario de divulgación matemática, he encontrado una nueva clasificación para pares de números naturales: los números cómplices.

Según la definición que se expone en ese blog, dos números naturales son cómplices si

  • se escriben con la misma cantidad de cifras
  • no son reversos de sí mismos y no son reversos entre ellos
  • el producto de los dos números es igual al producto de sus reversos

siendo el reverso de un número aquél que se escribe con las mismas cifras en orden inverso.

Por ejemplo, 21 y 24 son cómplices porque 21×24=12×42=504. Evidentemente, también son cómplices 12 y 42.

En la página citada se propone obtener pares de números cómplices de dos cifras.

Os adelanto que hay exactamente 28 pares y que en dicha página se explica cómo obtenerlos, pero podéis intentarlo sin mirarla… e investigar sobre números cómplices de tres cifras, como 231 y 264 o los de la imagen adjunta.

Los otros números poderosos

Parece ser que la definición correcta de número poderoso, según acuerdo de la comunidad internacional, es la que se expuso en la entrada de hace unos días.

Sin embargo, existe en la red otra definición como la que se obtiene de esta página:

Un número es poderoso si es igual a la suma de sus dígitos elevados a sus respectivas posiciones.

Por ejemplo, los números 89, 135 y 1306 son poderosos ya que

89=81+92                     135=11+32+53                            1306=11+32+03+64

Esta definición nos recuerda a la de números narcisistas, ya expuestos en esta web.

El mayor número poderoso es 12157692622039623539 (y puede verse la demostración de esta afirmación en esta página), por lo que la sucesión de estos números poderosos es finita.

Concretamente existen 20 números de estas características:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 89, 135, 175, 518, 598, 1306, 1676, 2427, 2646798, 12157692622039623539

y conforman la secuencia A032799 de OEIS.

Números poderosos

Un número es poderoso (powerful number)  si los cuadrados de sus divisores primos también son divisores suyos.

Por ejemplo, 36 es un número poderoso ya que los únicos primos que son divisores suyos son 2 y 3 y  22=4 y 32=9 también son divisores de 36.

La secuencia de números poderosos es la A001694 de OEIS:

1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, …

Curiosamente , existe también, en OEIS, el número de números poderosos menores o iguales que 10n, para n=0, 1, 2, … y es la secuencia A118896:

1, 4, 14, 54, 185, …

Los tres primeros términos de esta última secuencia se pueden obtener fácilmente de la anterior.

Analizando la definición, puede deducirse que

Todo número poderoso es el producto de un cuadrado y de un cubo: p=m2×n3, siendo m y n números naturales.

La afirmación anterior es también otra definición de número poderoso, y se puede ver la demostración de la equivalencia de las dos definiciones en esta página.

Además, la suma de los recíprocos de los números poderosos converge a 1,9435964

También, se puede afirmar que existen infinitos pares de números consecutivos poderosos : (8 , 9), (288 , 289) , (675 , 676 ) , … cuya sencilla demostración puede contemplarse en esta página. En ella también se demuestra que no puede haber cuatro consecutivos poderosos  y se comenta la conjetura de la existencia (o no) de tres consecutivos poderosos.

Otra página que demuestra la infinitud de parejas de consecutivos poderosos es esta.

En la página correspondiente de MathWorld aparecen enumeradas estas propiedades y puede ampliarse la información sobre los números.

El 7 y ninguno más

El canal de matemáticas MathArg Papers nos ofrece un vídeo en el que se demuestra una propiedad única del número primo 7:

El 7 es el único primo que está seguido por un cubo.

La demostración es elegante y sencilla, accesible para cualquier amante de las matemáticas.

El número de Dottie

El número de Dottie, también llamado constante del coseno, es la raíz única de la ecuación

cos x = x

donde x está dado en radianes.

Su valor es, en sus primeras cifras,  nd = 0,7390851132… y es un número real trascendente. La expansión de sus cifras decimales forma la serie A003957 de OEIS.

Según Samuel R. Kaplan, en un artículo sobre este número, el nombre de esta constante se debe a un profesor de francés que había observado el número después de presionar repetidamente el botón ‘coseno’ en su calculadora: el resultado siempre converge al valor citado.

Este número es conocido desde finales del siglo XIX al menos, donde aparece en diversas publicaciones de álgebra.

Una buena aproximación del número es