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Las sorprendentes matemáticas de las ciudades

Otra atractiva charla de TED en la que el físico Geoffrey West nos comenta leyes matemáticas que rigen las propiedades de las ciudades, entes que marcarán el futuro de la humanidad (tanto para bien como para mal) por lo que el conferenciante intenta estudiarlas como elementos dinámicos que se ajustan a unas reglas matemáticas similares a las que encontramos en el mundo de la biología para aprender sobre ellas y prever sus futuros.

 

Es imprescindible escucharla (o leer los subtítulos) con detenimiento y reflexionar sobre lo que dice.

 

El triángulo de Pascal (5)

Hace tiempo que no hablamos del Triángulo de Pascal y de sus asombrosas propiedades

Una más de las curiosidades que aparecen en él es la de las flores de Pascal:

florpascal

Se cumple que, construyendo una flor  de seis pétalos alrededor de uno cualquiera de los números interiores del triángulo, el producto de tres pétalos alternos es igual al de los otros tres.

Observad los tres ejemplos que aparecen. Los productos de los pétalos con números rojos son iguales a los respectivos productos de los pétalos con los números azules:

2 x 6 x 1 = 1 x 3 x 4
1 x 21 x 5 = 1 x 7 x 15
15 x 56 x 7 = 6 x 35 x 28

… y esto sucede, como hemos dicho, ¡en cualquier parte del triángulo!

La magia de esta propiedad desaparece si consideramos los números del triángulo de Pascal como lo que son: números combinatorios.

Si escribimos así los números que intervienen en las flores  tenemos que

por lo que se están planteando las igualdades

y, en general, la igualdad

Dicha igualdad es evidente pues

y

y ambas expresiones son idénticas, como puede observarse.

Evolución de los números indoarábigos

La enciclopedia Británica nos muestra en una imagen la evolución de la escritura de los números indoarábigos,  desde la precursora numeración Brahmi hasta los expuestos en el cuadrado mágico del grabado Melancolía, de Durero.

evol

El sistema de numeración indoarábigo se originó en la India en el siglo VI o VII y se introdujo en Europa a través de los matemáticos árabes del siglo XII. Representaba una ruptura profunda con los anteriores métodos de conteo como el ábaco y allanó el camino para el desarrollo del álgebra.

Sumas reversibles

Entre la magia de las operaciones matemáticas se encuentra esta de la suma de una serie de números a los que les damos la vuelta (escribiendo los dígitos con el orden en sentido contrario al original) y, sin embargo, su suma tiene … ¡el mismo valor que la suma anterior!

sumareversible

¿Conocéis otros ejemplos como éste?, ¿por qué sucede esto?

PostData.- Evidentemente, si los números que tomamos son capicúas su suma reversible también es invariante. Los ejemplos que se propongan deben ser no triviales

(casi) Todo sobre los números

Existen páginas en la red Internet que nos muestran todos los datos interesantes de un número natural sin más que teclearlo en la ventana que disponen para ello.

La web más conocida es WolframAlpha, que da múltiples propiedades del número y ofrece ampliaciones. Está en inglés, aunque se entiende muy bien.

Si queréis alguna en español, Número-Aleatorio es una buena opción, y añade, a un repaso exhaustivo de las propiedades del número (y algunas diferentes respecto a las que da la web anterior), una recopilación de curiosidades sobre el número en otras disciplinas.

wana

He preguntado en ambas por el número 1089 y he obtenido estos resultados:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=1089

https://numero-aleatorio.com/1089

complementarios y satisfactorios para conocer abundantes propiedades y curiosidades sobre el número.