Archivo de la etiqueta: fractales

Victoria amazónica

 “Victoria amazónica es un nenúfar o lirio de agua; es el más grande de todos los lirios de agua, nativo de las aguas poco profundas del río Amazonas.” (Wikipedia)

El lirio, con el envés acostillado y hojas nervudas como vigas transversales y sustentáculos, presenta a menudo un patrón fractal como el que se aprecia en la imagen.

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Fractales de la palabra de Fibonacci

Hace unos días, hablando de la palabra de Fibonacci, decíamos que “como cada palabra está subsumida en las todas posteriores, se puede intuir una interpretación fractal  de la palabra de Fibonacci”.

Definiamos, por concatenación, la sucesión

P(1)=0, P(2)=01 y P(n) = P(n-1)P(n-2) para cualquier n≥3 natural

dando lugar a la sucesión de términos

0, 01, 010, 01001, 01001010, 0100101001001, …

siendo el límite la llamada palabra (infinita) de Fibonacci.

Y, efectivamente, aparece una curva fractal asociada que se construye de manera iterativa aplicando a la palabra de Fibonacci la regla de dibujo impar-par para cada dígito en la posición k:

  • si el dígito es 0, se dibuja un segmento en la dirección actual
  • si el dígito es 1, se dibuje un segmento después de un ángulo de giro de 90°
    • a la derecha si k es par
    • a la izquierda si k es impar

Esta curva se llama Fractal de la palabra de Fibonacci.

Si se permutan las condiciones de los caracteres 0 y 1 se obtiene este otro bonito fractal:

Se ha usado la página https://pencilcode.net/, que permite ejecutar un lenguaje JavaScript con Logo para dibujar ambos tipos de fractales.

Entrad en esta dirección

https://chemari.pencilcode.net/home/fwf

y elegid el origen de dibujo en pantalla (0,0 es el centro de la pantalla), orden de palabra en la sucesión, la longitud del segmento y el tipo de fractal. Construiréis ambos a vuestro gusto hasta un nivel razonable.

Otros fractales pueden construirse a partir de variaciones de las condiciones de iteración, como puede verse en esta galería.

El Cubo de Jerusalén

El Cubo de Jerusalén es un fractal construido bajo una idea similar a la Esponja de Menger, aunque con notable diferencia: la proporción entre las iteraciones no es entera ni fraccionaria sino irracional. Concretamente la proporción es 1:(1 + √2) o 1:2,414213562 …

En esta página se detalla su construcción.

Su nombre proviene de su parecido con la Cruz de Jerusalén, símbolo del Reino de Jerusalén como puede verse en su escudo.

Otra página para observar su construcción, más detallada que la anterior, es esta.

Jugando con fractales

Curiosa web para experimentar y jugar con fractales:

https://anvaka.github.io/pplay/

Como se aprecia en la imagen, en la parte superior izquierda hay dos botones:

  • EDIT, para mostrar y modificar el código, escrito en lenguaje GLSL, que genera el fractal que se expone en la pantalla. Si no nos atrevemos con la sintaxis (aunque hay un enlace explicativo en la esquina superior derecha en la ventana que se abre), podemos variar el valor de los parámetros: el cambio es inmediato en la imagen.
  • RANDOMIZE, para mostrar sucesivas imágenes (con su respectivo código) en la pantalla.

Un canal en Reddit permite ver ejemplos y compartir con otras personas interesadas tus creaciones y comentarios sobre esta aplicación.

Muy interesante, atractiva  e instructiva.

Mobiliario matemático

Hablar de muebles es hablar de geometría. Los muebles se construyen a partir de estructuras geométricas habitualmente simétricas.

Para romper moldes y hacer muebles curiosos y visualmente atractivos los diseñadores se inspiran en formas que también son curiosas y atractivas en la Geometría, como en los fractales:

o en la conocida espiral aúrea:

También se basan en propiedades matemáticas, como la descomposición de un cuadrado en 21 cuadrados de medidas enteras diferentes:

o empaquetan varias piezas en un mueble para optimizar espacios cuando no se usan, que resuelve el problema de la descomposición de una forma geométrica en otras:

El gato de Hilbert