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Solo queda uno

Dados varios enteros, la operación permitida es reemplazar dos de ellos por su diferencia no negativa. La operación se repite hasta que queda un solo número.

Si los números iniciales son 1, 2, …, 2020, ¿cuál puede ser el último número que queda?

Suma secuencial

Para cada entero positivo n, sea an el último dígito del número 1+2+3+…+n

Calcula a1 + a2 + a3 + … + a2030

Suma de partes enteras

Halla

siendo ent(n) la parte entera del número.

La secuencia de Kolakoski

La secuencia de Kolakoski (artista y matemático estadounidense) es una secuencia infinita formada por los dígitos 1 y 2 que se construye de la siguiente manera:

Comenzando por los dígitos 1 y 2, e introduciendo ambos de manera alternativa, cada dígito añadido construye una cadena de dígitos de una cantidad a su valor.

Se comienza, así, con la cadena 12.

El primer término, 1, construye la cadena de un elemento con el dígito 1 (es el propio término); el segundo término, 2, construye una cadena de dos elementos con el dígito 2 con lo que la cadena será ahora 122.

El tercer término, 2, construye una cadena de dos elementos con el dígito 1 (recordemos que se alterna la aparición de los dos dígitos) y la cadena es, entonces, 12211.

Seguiremos con las cadenas 122112 (usando el cuarto término), 1221121 (con el quinto término), 122112122 (con el sexto término),… y así sucesivamente.

Esta animación permite ver la construcción paso a paso:

La secuencia de Kolakoski está descrita en la secuencia A000002 de OEIS

1,2,2,1,1,2,1,2,2,1,2,2,1,1,2,1,1,2,2,1,2,1,1,2,1, 2,2,1,1, …

Curiosamente, la secuencia construida con las longitudes de las cadenas de términos iguales es la misma:

Al ser una secuencia que se genera a sí misma, es un fractal. En Imgur pueden verse animaciones creadas a partir de esta secuencia-fractal.

Con otros conjuntos de dígitos se pueden construir otras secuencias similares, como las descritas en las secuencias A064353, A079729, …

En el Cuaderno de Cultura Científica y en MathWorld se puede ampliar la información sobre esta secuencia.

Otra sucesión más

La sucesión a1, a2, a3, … comienza con a1=49

Para an+1, el término se obtiene añadiendo 1 a la suma de las cifras de an y elevando al cuadrado el resultado.

Por ejemplo, a2=(4+9+1)2=196

Calcula el valor de a2019

La secuencia de Connell

Creamos una sucesión de números naturales de la siguiente manera: empezamos anotando el primer impar, luego los dos siguientes pares, los tres siguientes impares,…. Y así, sucesivamente, formando la sucesión

1, 2, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 14, 16, …

Esta sucesión se llama secuencia de Connell y está referenciada en OEIS.

El término general de esta secuencia viene dado por la expresión

siendo int la función “parte entera”.

Esta expresión permite deducir, de inmediato, que

De otra manera: el término que ocupa el lugar n en la sucesión (para términos de índice lo suficientemente alto)  es un valor muy cercano al doble de n

En esta página de Waterloo se estudia la generalización de secuencias de este tipo  y en esta otra también, así como relaciones con otros tipos de números.

Por ejemplo, escribiendo la secuencia de esta forma:

puede observarse que si

es un número triangular (1, 3, 6, 10, …), se verifica que