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Una sucesión con sorpresa

De una sucesión se conocen sus cuatro primeros términos:

¿Cuál es el quinto término de la sucesión?

Casi el 100% de las respuestas sería, probablemente,

9

identificando esta sucesión con la de los números impares.

Se incurriría así en el error común de dar por válido un resultado con la intuición como mayor argumento y sin tener una deducción sólida en la que basarse.

Esto es, precisamente, en lo que se diferencian las conjeturas de los teoremas.

Volviendo al problema, la respuesta para el quinto término de la sucesión que habíamos pensado es errónea: el quinto término es, exactamente,

217341

porque la sucesión correspondiente es

que cumple las condiciones iniciales del problema.

Cuadrados

Se tienen 2020 piezas rectangulares de 2 cm de ancho y 3 cm de largo y con ellas se construyen cuadrados sin superposiciones ni huecos.

¿Cuál es la mayor cantidad de cuadrados de tamaños diferentes que se pueden tener al mismo tiempo?

Solo queda uno

Dados varios enteros, la operación permitida es reemplazar dos de ellos por su diferencia no negativa. La operación se repite hasta que queda un solo número.

Si los números iniciales son 1, 2, …, 2020, ¿cuál puede ser el último número que queda?

Suma secuencial

Para cada entero positivo n, sea an el último dígito del número 1+2+3+…+n

Calcula a1 + a2 + a3 + … + a2030

Suma de partes enteras

Halla

siendo ent(n) la parte entera del número.

La secuencia de Kolakoski

La secuencia de Kolakoski (artista y matemático estadounidense) es una secuencia infinita formada por los dígitos 1 y 2 que se construye de la siguiente manera:

Comenzando por los dígitos 1 y 2, e introduciendo ambos de manera alternativa, cada dígito añadido construye una cadena de dígitos de una cantidad a su valor.

Se comienza, así, con la cadena 12.

El primer término, 1, construye la cadena de un elemento con el dígito 1 (es el propio término); el segundo término, 2, construye una cadena de dos elementos con el dígito 2 con lo que la cadena será ahora 122.

El tercer término, 2, construye una cadena de dos elementos con el dígito 1 (recordemos que se alterna la aparición de los dos dígitos) y la cadena es, entonces, 12211.

Seguiremos con las cadenas 122112 (usando el cuarto término), 1221121 (con el quinto término), 122112122 (con el sexto término),… y así sucesivamente.

Esta animación permite ver la construcción paso a paso:

La secuencia de Kolakoski está descrita en la secuencia A000002 de OEIS

1,2,2,1,1,2,1,2,2,1,2,2,1,1,2,1,1,2,2,1,2,1,1,2,1, 2,2,1,1, …

Curiosamente, la secuencia construida con las longitudes de las cadenas de términos iguales es la misma:

Al ser una secuencia que se genera a sí misma, es un fractal. En Imgur pueden verse animaciones creadas a partir de esta secuencia-fractal.

Con otros conjuntos de dígitos se pueden construir otras secuencias similares, como las descritas en las secuencias A064353, A079729, …

En el Cuaderno de Cultura Científica y en MathWorld se puede ampliar la información sobre esta secuencia.