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Los números de Nina

En una pizarra están escritos los números enteros desde 1 hasta 2019.

Nina borra números con el siguiente procedimiento: recorre los números de la pizarra ordenadamente de menor a mayor comenzando con el 3. Borra el 3 y cada vez que llega a un número que se pueda escribir como suma de dos números distintos que no se hayan borrado hasta ese momento, lo borra.

Determina cuántos números quedarán en la pizarra cuando Nina concluya su tarea.

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Números perfectos en otras bases

Lista de números perfectos http://www.vaxasoftware.com/

¿Recordais los números perfectos?: según la Wikipedia, un número perfecto es un número natural que es igual a la suma de sus divisores propios positivos, es decir, todos sus divisores (desde 1) menos él mismo.

Se generan a través de la fórmula 2p-1×(2p-1) siempre que p y 2p-1 sean primos.

Los primeros números perfectos son 6, 28, 496, 8128 porque cumplen la definición:

22-1×(22-1)=6=1+2+3
23-1×(23-1)=28=1+2+4+7+14
25-1×(25-1)=496=1+2+4+8+16+31+62+124+248
27-1×(27-1)=8128=1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064

Hasta ahora se han encontrado 50 números perfectos y no ha conseguido demostrarse que su número sea infinito.

En OEIS tenéis definida la sucesión A000396 de números perfectos y abundantes referencias.

Curiosamente, el formato en base binaria de esos números es

  • 6=110(2
  • 28=11100(2
  • 496=111110000(2
  • 8128=1111111000000(2

números formados por p ‘unos’ y p-1 ‘ceros’, debido, evidentemente, a la fórmula que los genera.

Lo que no es tan evidente es su escritura en bases 3 y 4:

  • 6=20(3=12(4
  • 28=1001(3=130(4
  • 496=200101(3=13300(4
  • 8128=102011001(3=1333000(4

que también permite adivinar unos patrones muy evidentes en sus expresiones. ¿Por qué?

En la web Fun With Numb3rs se pueden apreciar las expresiones de más números de la lista de perfectos.

La lista de Ana

Ana escribe una lista de 200 números de acuerdo con la siguiente regla: el primer número es 2005, el segundo es 1, y a partir de allí, en cada paso escribe la resta del último número ya escrito menos el penúltimo número escrito más 5. Por ejemplo, el tercer número es -1999, pues 1-2005+5=-1999.

Calcula la suma de los 200 números de la lista de Ana.

Término 2019

Un programa de ordenador genera una sucesión de 2019 números, de acuerdo con la siguiente regla: el primer número es 1 y, a partir de ahí, luego de generar el número x, el siguiente número que genera es igual a

siendo [x] la parte entera de x.

Así, los primeros números de la sucesión son 1; 2; 5/2; 3; …

Determina cuál es el último número que genera el programa.

Palabra de Fibonacci

Uno de los conceptos matemáticos más conocidos, y protagonista habitual de artículos divulgativos, es la sucesión de Fibonacci, generadora de la razón aúrea y presente en diferentes contextos en la vida real.

Recordemos, por si hiciera falta, como se construye:

Dados dos valores iniciales F(1) = 0 y F(2) = 1, se forman los siguientes de la sucesión mediante la suma de sus dos anteriores:

F(n) = F(n-1) + F(n-2)

dando lugar a la sucesión

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …

Observemos una interpretación gráfica (de muchas) de esta sucesión: la espiral de Fibonacci, que es una aproximación a la espiral dorada.

En base a la construcción de esta sucesión se definen otras series y conceptos, variando valores de términos iniciales o usando elementos y operaciones con cierta analogía.

Una de las interesantes definiciones, en este contexto, es la palabra de Fibonacci.

El concepto aparece a partir de la creación de una serie con cadenas de dígitos binarios y la concatenación de dichas cadenas como operación: definimos dos valores iniciales

P(1) = 0 y P(2) = 01

y construimos los siguientes elementos de la serie mediante la concatenación de sus dos anteriores:

P(n) = P(n-1)P(n-2)

dando lugar a la sucesión de términos

0, 01, 010, 01001, 01001010, 0100101001001, …

que llamamos palabras binarias, y cuyas longitudes (número de dígitos) siguen la sucesión de Fibonacci.

Pues bien, el término límite es la llamada palabra (infinita) de Fibonacci, cuyos elementos (dígitos) forman la secuencia A003849 en OEIS.

Observando los términos, si eliminamos sus dos últimos dígitos obtenemos siempre una palabra capicúa o palindrómica.

Como cada palabra está subsumida en las todas posteriores, se puede intuir una interpretación fractal  de la palabra de Fibonacci.

El término centenario

Dada la sucesión definida por a1 = 5 y an+1 = an + 3n, calcula