Archivo de la etiqueta: sucesiones

Sucesión recurrente

Sea la sucesión dada por a1 = a2 = 1  y

estr

 Halla a2016

Sucesiones de Farey

Una sucesión de Farey Fn para un entero positivo n es una sucesión de todas las fracciones irreducibles entre 0 y 1 escritas en orden creciente que pueden generarse a partir de las fracciones de denominador menor o igual a n

Por ejemplo, la sucesión F5 se construye a partir de las fracciones

farey51

eliminándose aquellas que tienen un valor repetido

farey52

y, finalmente, ordenando las que quedan de menor a mayor

farey53

Así, las primeras sucesiones de Farey son

farey17

y verifican que cada una de ellas contiene a todas las anteriores.

Si tomamos cualquier trío de fracciones consecutivas en una de las sucesiones se verifica que la suma de los numeradores de las de los extremos dividida por la suma de los denominadores de las de los extremos es igual al valor de la fracción intermedia.

Es decir, si en una sucesión tomamos tres fracciones consecutivas

a /b < c /d < e /f

se verifica siempre que

(a + e )/(b + f ) = c /d

Comprobadlo en cualquiera de las sucesiones descritas en la imagen anterior.

Se sabe también que el número de términos de la sucesión Fn se puede obtener de manera aproximada a partir de la expresión 3n22

Son muy evidentes las propiedades visuales que aparecen cuando se representan las sucesiones mediante puntos en un sistema de coordenadas, indicando en el eje horizontal los valores de las fracciones y en el eje vertical los sucesivos valores de n

fareyGraph

Como puede apreciarse en este gráfico, debido a Debra Borkovitz, los puntos correspondientes a fracciones con el mismo numerador construyen hipérbolas (en realidad se sitúan sobre una misma curva hiperbólica).

Se han remarcado en el gráfico las correspondientes a numerador 7 y numerador n-7 respectivamente.

Para poder manipular esta gráfica podéis acceder al applet de Geogebra que la genera.

Así mismo, una función recursiva permite obtener todos los términos de cualquier sucesión de Farey. Podéis adaptarla al lenguaje de programación que os sea más familiar.

Suma de términos fraccionarios

Si

expr

calcula S2016 en forma de fracción irreducible.

Suma de términos

sumatorioEn una sucesión el primer término es a1 = 1, el segundo a2 = –1 y a partir del tercero cada término es el producto de los dos anteriores. ¿Cuál es la suma de los 2016 primeros términos de la sucesión?

Secuencias malabaristas

malabaresUna secuencia malabarista es una sucesión de números enteros positivos que comienza con un entero positivo a0  cualquiera y cada término siguiente de la sucesión está definido por
malabarista
siendo int() la función parte entera.

La sucesión de números malabaristas o Juggler sequence  fue propuesta por Clifford A. Pickover en el año 1992, en su libro Computers and the Imagination.

El nombre de esta sucesión viene de la subida y bajada de los valores de los números que conforman las secuencias como las bolas que lanza un malabarista. En efecto, si tomamos como inicio el número 125 obtenemos la secuencia

125, 1397, 52214, 228, 15, 58, 7, 18, 4, 2, 1

Si la secuencia llega al valor 1 está claro que todos los términos siguientes son 1 también.

No se ha demostrado aún pero se conjetura que toda secuencia malabarista llega finalmente a 1. Esto se ha comprobado con el primer millón de números naturales.

Si llamamos l(N)  al número de términos de la secuencia malabarista de inicio N hasta que llega a 1 vemos que l(125) = 10, y si llamamos h(N)  al máximo valor que alcanza la secuencia malabarista de inicio N  hasta que llega a 1 se ve que h(125) = 52214

Ambas funciones construyen respectivas sucesiones que están documentadas en OEIS: son la sucesión A007320 y la sucesión A094716 respectivamente.

Hay secuencias que alcanzan valores muy altos hasta llegar a 1. Por ejemplo, h(37)  = 24906114455136. Para la secuencia correspondiente a un valor inicial 48443 el valor máximo es un número de… ¡más de novecientos mil dígitos!

En esta dirección tenéis algunos scripts creados con varios lenguajes de programación que permiten obtener secuencias malabaristas.