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Término 2019

Un programa de ordenador genera una sucesión de 2019 números, de acuerdo con la siguiente regla: el primer número es 1 y, a partir de ahí, luego de generar el número x, el siguiente número que genera es igual a

siendo [x] la parte entera de x.

Así, los primeros números de la sucesión son 1; 2; 5/2; 3; …

Determina cuál es el último número que genera el programa.

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Palabra de Fibonacci

Uno de los conceptos matemáticos más conocidos, y protagonista habitual de artículos divulgativos, es la sucesión de Fibonacci, generadora de la razón aúrea y presente en diferentes contextos en la vida real.

Recordemos, por si hiciera falta, como se construye:

Dados dos valores iniciales F(1) = 0 y F(2) = 1, se forman los siguientes de la sucesión mediante la suma de sus dos anteriores:

F(n) = F(n-1) + F(n-2)

dando lugar a la sucesión

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …

Observemos una interpretación gráfica (de muchas) de esta sucesión: la espiral de Fibonacci, que es una aproximación a la espiral dorada.

En base a la construcción de esta sucesión se definen otras series y conceptos, variando valores de términos iniciales o usando elementos y operaciones con cierta analogía.

Una de las interesantes definiciones, en este contexto, es la palabra de Fibonacci.

El concepto aparece a partir de la creación de una serie con cadenas de dígitos binarios y la concatenación de dichas cadenas como operación: definimos dos valores iniciales

P(1) = 0 y P(2) = 01

y construimos los siguientes elementos de la serie mediante la concatenación de sus dos anteriores:

P(n) = P(n-1)P(n-2)

dando lugar a la sucesión de términos

0, 01, 010, 01001, 01001010, 0100101001001, …

que llamamos palabras binarias, y cuyas longitudes (número de dígitos) siguen la sucesión de Fibonacci.

Pues bien, el término límite es la llamada palabra (infinita) de Fibonacci, cuyos elementos (dígitos) forman la secuencia A003849 en OEIS.

Observando los términos, si eliminamos sus dos últimos dígitos obtenemos siempre una palabra capicúa o palindrómica.

Como cada palabra está subsumida en las todas posteriores, se puede intuir una interpretación fractal  de la palabra de Fibonacci.

El término centenario

Dada la sucesión definida por a1 = 5 y an+1 = an + 3n, calcula

Razones metálicas

Espectacular vídeo de Numberphile con subtítulos en castellano.

A partir de la sucesión de Fibonacci se obtiene la razón aúrea, valor al que tiende el cociente entre dos términos consecutivos de la sucesión.

Si definimos otras sucesiones, creadas de manera similar a la anterior, en las que cada término es el producto del precedente por una constante más el anterior a este último obtenemos la razón de plata (constante 2, que da lugar a los números de Pell), la razón de bronce (constante 3),… y toda una serie de razones metálicas que llevan asociadas sus correspondientes espirales metálicas, todas de tipo logarítmico y de propiedades muy interesantes.

El vídeo, en donde se detallan todos los conceptos indicados y con ejemplos de la vida real, es un excelente principio para revisar exhaustivamente esas sucesiones.

Un castillo de naipes

Para hacer un castillo de naipes de 1 piso se usan 2 naipes, para hacerlo de 2 pisos se usan 7 naipes, para hacerlo de 3 pisos se usan 15 naipes… 

¿Cuántos naipes hay que usar para hacer un castillo de 100 pisos?