Solución al problema «Un segmento del triángulo»

Aquí está la solución del problema Un segmento del triángulo, propuesto en la entrada del día 15 de abril:

Gran suma

Calcula la suma

Un hueco sorprendente

La magia de las inquietantes desapariciones (y apariciones) de elementos en una estructura lo hemos expuesto aquí con variados ejemplos.

Esta es otra que se basa en similares principios geométricos que las anteriores. Y nunca deja de asombrarnos.

El vídeo está firmado (y creado) por @physicsfun

Solución al problema «Suma de logaritmos»

Aquí está la solución del problema Suma de logaritmos, propuesto en la entrada del día 11 de abril:

Las aulas del colegio

En un cierto examen todas las preguntas tienen igual valor.

Si contestas 9 de las 10 primeras correctamente pero solamente los 3/10 de las restantes, obtienes el 50% de la puntuación total.

¿Cuántas preguntas tiene el examen?

Solución al problema «Lluvia en Madrid»

Tenemos aquí la solución del problema Lluvia en Madrid, propuesto en la entrada del día 8 de abril:

Puntuación de un examen

En un cierto examen todas las preguntas tienen igual valor.

Si contestas 9 de las 10 primeras correctamente pero solamente los 3/10 de las restantes, obtienes el 50% de la puntuación total.

¿Cuántas preguntas tiene el examen?

Cálculo aproximado de la raíz cuadrada

En una entrada anterior se comentaba un método para obtener raíces cuadradas aproximadas sin usar calculadora.

Se propone aquí una variante del método anterior y, quizás, más cómoda.

Dado cualquier número a, para calcular su raíz cuadrada se localiza el número b que sea el cuadrado perfecto más próximo a a.

Entonces, observamos lo siguiente:

Como b debe ser cercano a a, un valor aproximado de la raiz cuadrada de este será el que se obtiene sustituyendo en el segundo miembro de la expresión y en algún caso, el valor de a por el valor de b:

y cuyo cálculo es bastante simple.

Por ejemplo, la raiz cuadrada aproximada de 37,28 podemos calcularla con el valor 36, cuadrado perfecto más próximo al número dado.

Así,

Es una buena aproxmación, dado que el valor correcto es 6,1057

Evidentemente, la bondad de la aproximación dependerá de la cercanía del cuadrado perfecto al número en cuestión.

Solución al problema «Divisores de N»

Esta es la solución del problema Divisores de N, propuesto en la entrada del día 4 de abril:

Número de muchos dígitos

Para todo número entero positivo n, sea S(n) la suma de los dígitos de n.

Halla, si existe, un número entero positivo n de 171 dígitos tal que 7 divide a S(n) y 7 divide a S(n+1).