Con 360

Los números naturales x e y son los más pequeños que verifican que 360x es un cuadrado perfecto y que 360y es un cubo perfecto.

¿Cuál es su suma?

Una cadena de perfectos

¿Cuál es el máximo número de cifras que puede tener un número si toda pareja de cifras consecutivas es un cuadrado perfecto?

Solución al problema «Tres primos»

Aquí está la solución del problema Tres primos, propuesto en la entrada del día 16 de agosto:

El Cálculo Infinitesimal

Hace muy poco hablamos de Arquímedes, uno de los precursores del Cálculo Infinitesimal… pero … ¿qué es el Cálculo Infinitesimal?

Para enterarnos, conocer su historia y quienes comenzaron a desarrollar  esta disciplina hace más de cuatro siglos, es aconsejable ver y escuchar este ameno vídeo elaborado por la Universidad Nacional Autónoma de México:

 

Solución al problema «Bolas»

Tenemos aquí la solución del problema Bolas, propuesto en la entrada del día 15 de agosto:

Tres números

Sean tres números no nulos tales que su suma es igual a la unidad y la suma de sus inversos es igual a cero.

¿Cuánto vale la suma de sus cuadrados?

Seis cuadrados

El rectángulo de la figura está dividido en seis cuadrados.

Los lados del cuadrado más pequeño miden 1 cm

¿Cuál es la longitud de los lados del cuadrado mayor?

Solución al problema «Ceros»

Esta es la solución del problema Ceros, propuesto en la entrada del día 13 de agosto:

Los ríos y Pi

¿Existe una relación entre la longitud de un río y la distancia en línea recta desde su nacimiento hasta su desembocadura?

A mediados de la década de 1990 el geólogo Hans-Henrik Stolum, de la Universidad de Cambridge , observó que la relación entre el doble de la longitud de un río y la distancia en línea recta desde su nacimiento hasta su desembocadura es, generalmente, un valor próximo a 3.

En los ríos más antiguos, que han tenido la oportunidad de desarrollar largos cursos serpenteantes, la relación se suele acercar al valor de π (3,14) y rebasarlo en los casos de meandros muy cerrados.

La idea es la siguiente: en la imagen puede verse el esquema del curso de un río y su ‘modelización matemática’ con semicircunferencias.

La longitud del río, de A a B, será la suma de las longitudes de las semicircunferencias

π r₁ + π r₂ + π r₃ + π r₄

y la distancia lineal entre A y B la suma de los diámetros

2 r₁ + 2 r₂ + 2 r₃ + 2 r₄

por lo que la razón entre el doble de la longitud y la distancia líneal será

2 x (π r₁ + π r₂ + π r₃ + π r₄) / (2 r₁ + 2 r₂ + 2 r₃ + 2 r₄) = π

A Albert Einstein se le ocurrió la razón por la cual los ríos serpentean: cuando se forma un río se forman pequeños pliegues y dobleces en su curso y el agua que fluye en el exterior de una curva se mueve más rápido que el agua que fluye por el interior. Esto erosiona el exterior más rápidamente que el interior y el río se mueve hacia fuera, creando una curva más grande.

Con el tiempo, las curvas se cierran tanto que se encuentran y el río forma un atajo a través de ellas formando una laguna aislada… y el proceso comienza de nuevo otra vez: la relación entre el doble la longitud real del río y su longitud en línea recta tiende de nuevo a π.

Algunos de los valores de la proporción para ríos españoles son los que se presentan a continuación, calculados usando datos de Wikipedia y Google Maps:

Río	Longitud	Distancia nacimiento-desembocadura	Proporción
Miño	310 km	189 km	3,2804
Ebro	950 km	507 km	3,7475
Duero	897 km	487 km	3,6838
Tajo	1007 km	649 km	3,1032
Guadiana	818 km	429 km	3,8135
Guadalquivir	657 km	336 km	3,9107

Como curiosidad añadida, parece ser que la naturaleza mantiene otras relaciones en las características de un río.

Si r es el radio de curvatura de una de las curvas del río, a es el ancho del río y l es la “longitud de onda” del meandro se cumplen estas relaciones, siempre aproximadas:

r = 2,3a  y  l = 11a

Mates y + propuso hace tiempo una interesante webquest  sobre el tema.

Solución al problema «Función entera»

Aquí está la solución del problema Función entera, propuesto en la entrada del día 12 de agosto: