Cuatrocientas bolas

Se tienen 400 bolas con los números del 1 al 400, sin repeticiones.

Se colocan las bolas en dos cajas, A y B, con la siguiente condición: si se multiplican los números de todas las bolas de la caja A, el resultado no es múltiplo de 6.

Determina la mayor cantidad de bolas que se puede colocar en la caja A.

El maravilloso 77

Todos los números naturales (y los que no lo son, también) tienen algo especial que los distingue de los demás.

Por ejemplo, el 77. En la página https://numero.wiki/77 se destacan todas sus particularidades, matemáticas o no, como que es resultado de la suma de los ocho primeros números primos:

Pero de todas sus propiedades hay una que lo hace especialmente único: todos los números naturales podemos descomponerlos en sumas de números naturales y, por lo general, siempre existe alguna de esas descomposiciones tal que la suma de sus recíprocos es la unidad.

Algunos ejemplos:

Pues bien, se demostró, a mitad del siglo pasado, que

77 es el mayor número natural que no posee esta propiedad: cualquier número superior a 77 tiene alguna descomposición en suma tal que la suma de los recíprocos de esos números es igual a la unidad.

Además, se probó también que el 77 no tenía una descomposición con las propiedad citada.

Esta propiedad hace único y especial al 77.

Las casillas del tablero

Hay que escribir un número entero en cada casilla de un tablero de 1×171 de la siguiente manera: en la primera casilla de la izquierda se escribe un 0 y luego el número en cada casilla C es igual a la cantidad de casillas que hay a la izquierda de C más la suma de cada uno de los números escritos en cada una de esas casillas.

Es decir, en la primera casilla va 0, en la segunda casilla va 1+0=1, en la tercera casilla va 2+(0+1)=3, en la cuarta casilla va 3+(0+1+3)=7, etc.

Halla la cantidad de números escritos en el tablero que tienen el dígito de las unidades igual a 3.

Edades en la familia

Cuando una madre escribe tres veces seguidas su edad obtiene un número de seis cifras que es el producto de seis números: la edad de sus cuatro hijos (que son números diferentes), la edad del padre y su propia edad.

¿Cuál es la suma de las edades de los cuatro hijos?

El último número

Manu escribe todos los números de dos dígitos desde el 19 hasta el 73 uno a continuación del otro: 1920212223……7273

Luego decide agregar los siguientes números de dos dígitos (74, 75, etc) hasta que el número obtenido sea múltiplo de 396

Determina el último número de dos dígitos que debe escribir Manu.

Número escondido

En un papel hay escrito un número de cuatro cifras. El número empieza por 86 y es divisible por 3, por 4 y por 5.

¿De qué número se trata?

Anillos de Calícrates

Calícrates, arquitecto griego de mitad del siglo V a.C. y arquitecto de algunos edificios de la Acrópolis (como el Partenón), da nombre a los anillos de Calícrates,  círculos mágicos, descritos por Clifford A. Pickover en su libro The Zen of Magic Squares, Circles, and Stars.

Valga como ejemplo este, que contiene en 80 nodos los números de 1 a 80 y la suma de los nodos de cada círculo es 324:

o este, creado por Michael Keith,

de idénticas características al anterior pero, curiosamente, los nodos externos forman los primeros dígitos de π=3,14159265358….

Ambos anillos son de diez círculos, pero se pueden crear de otra cantidad de círculos.

Os dejo, además del enlace al libro citado, una página interesante para aprender más.

El menor valor posible

Sea

con x e y naturales.

Entre todos los valores positivos de N, determina el menor valor posible.

Siete es la clave

Si cuatro números naturales diferentes m, n, p y q satisfacen la ecuación

halla su suma.

Curiosa igualdad

A través del twitter de @potetoichiro seguimos conociendo muchas curiosidades.

Por ejemplo, esta igualdad

que vamos a intentar certificar. Tengamos en cuenta que las descomposiciones factoriales de los tres números que aparecen en la igualdad son:

A partir de lo anterior,

como queríamos comprobar.