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Los números de Nina

En una pizarra están escritos los números enteros desde 1 hasta 2019.

Nina borra números con el siguiente procedimiento: recorre los números de la pizarra ordenadamente de menor a mayor comenzando con el 3. Borra el 3 y cada vez que llega a un número que se pueda escribir como suma de dos números distintos que no se hayan borrado hasta ese momento, lo borra.

Determina cuántos números quedarán en la pizarra cuando Nina concluya su tarea.

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El telesilla

Las 156 cabinas de un telesilla están situadas en el cable que las mueve, de tal manera que la distancia entre dos cabinas adyacentes es siempre la misma.

Si estás sentado en la cabina número 120, ¿cuál es el número de la cabina que viene en dirección opuesta a la tuya y que te cruzas con ella cuando llegas a la mitad del viaje?

Números perfectos en otras bases

Lista de números perfectos http://www.vaxasoftware.com/

¿Recordais los números perfectos?: según la Wikipedia, un número perfecto es un número natural que es igual a la suma de sus divisores propios positivos, es decir, todos sus divisores (desde 1) menos él mismo.

Se generan a través de la fórmula 2p-1×(2p-1) siempre que p y 2p-1 sean primos.

Los primeros números perfectos son 6, 28, 496, 8128 porque cumplen la definición:

22-1×(22-1)=6=1+2+3
23-1×(23-1)=28=1+2+4+7+14
25-1×(25-1)=496=1+2+4+8+16+31+62+124+248
27-1×(27-1)=8128=1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064

Hasta ahora se han encontrado 50 números perfectos y no ha conseguido demostrarse que su número sea infinito.

En OEIS tenéis definida la sucesión A000396 de números perfectos y abundantes referencias.

Curiosamente, el formato en base binaria de esos números es

  • 6=110(2
  • 28=11100(2
  • 496=111110000(2
  • 8128=1111111000000(2

números formados por p ‘unos’ y p-1 ‘ceros’, debido, evidentemente, a la fórmula que los genera.

Lo que no es tan evidente es su escritura en bases 3 y 4:

  • 6=20(3=12(4
  • 28=1001(3=130(4
  • 496=200101(3=13300(4
  • 8128=102011001(3=1333000(4

que también permite adivinar unos patrones muy evidentes en sus expresiones. ¿Por qué?

En la web Fun With Numb3rs se pueden apreciar las expresiones de más números de la lista de perfectos.

Sobre capicúas

Sea x  un número natural tal que la suma x  + 1923 es un número capicúa de cuatro cifras.

¿Cuál es la diferencia entre el mayor valor posible de x  y el menor valor posible de x?

Amigos de 7

Un número natural se dice amigo del 7 si la suma de sus dígitos es un múltiplo de 7.

Por ejemplo, 9156 es amigo del 7 porque 9+1+5+6=21 que es un múltiplo de 7, 223 es amigo del 7 porque 2+2+3=7 que es un múltiplo de 7, y 706 no es amigo del 7 pues 7+0+6=13, que no es múltiplo de 7.

Halla el menor número n que es amigo del 7 y tal que el siguiente amigo del 7 sea n+13, es decir, que n y n+13 son amigos del 7 pero ninguno de los 12 números n+1, n+2, …, n+12 es amigo del 7.