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Un cuadrado “casimágico”

El cuadrado de la figura se rellena con los números 1, 2, 3, 4 y 5 de tal manera que cada fila y cada columna contienen cada uno de ellos exactamente una vez.

Además, la suma de los números en cada una de las tres regiones con bordes en negrita es igual.

¿Qué número está en la esquina superior derecha?

Maravilla pentagonal

Edward Falkener (1814-1896) fue un arquitecto inglés que, entre otros, restauró monumentos de la era romana y trabajó en edificaciones de épocas pasadas.

Escribió, en base a su experiencia, el libro Games, Ancient and Oriental en 1892 y, en él, describe un pentágono mágico:

Son los números de 1 a 101 distribuidos mágicamente y con su valor medio, 51, en el centro de la imagen.

Se puede observar (calculando uno a uno) que los cinco lados de cada pentágono son de igual suma y que los cinco ‘diámetros’, desde una esquina y pasando por el centro hasta la esquina opuesta, suman cada uno 459, que es nueve veces el número central 51.

Además, el pentágono interno suma 510 en su contorno, o 10 veces el número central 51. El siguiente pentágono suma 1020, o 20 veces el número central: 51; y los dos siguientes suman 1530 y 2040 que son, respectivamente, 30 y 40 veces (¡otra vez!) el número central: 51. ¡Todas las sumas relacionadas con el valor central: 51!

Parece ser que este pentágono fue creado por Mikhail Frolov en Les carrés magiques (1886).

Esta información ha sido extraída, como tantos otros datos curiosos, de Futility Closet.

Tres dígitos

Si se agregan a la derecha de 2019 tres dígitos abc, el número de siete dígitos 2019abc es divisible por 541.

Halla todos los posibles valores de los dígitos a, b, c.

Dos y media

Se seleccionan al azar tres números diferentes del conjunto {1, 2, 3, …, 10}.

¿Cuál es la probabilidad de que uno de ellos sea la media aritmética de los otros dos?

La secuencia de Connell

Creamos una sucesión de números naturales de la siguiente manera: empezamos anotando el primer impar, luego los dos siguientes pares, los tres siguientes impares,…. Y así, sucesivamente, formando la sucesión

1, 2, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 14, 16, …

Esta sucesión se llama secuencia de Connell y está referenciada en OEIS.

El término general de esta secuencia viene dado por la expresión

siendo int la función “parte entera”.

Esta expresión permite deducir, de inmediato, que

De otra manera: el término que ocupa el lugar n en la sucesión (para términos de índice lo suficientemente alto)  es un valor muy cercano al doble de n

En esta página de Waterloo se estudia la generalización de secuencias de este tipo  y en esta otra también, así como relaciones con otros tipos de números.

Por ejemplo, escribiendo la secuencia de esta forma:

puede observarse que si

es un número triangular (1, 3, 6, 10, …), se verifica que

Nueves

El número n tiene 100 cifras, todas iguales a 9.

Calcula la suma de las cifras de n2