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El uno en fracciones

En Curiosa Mathematica se expone la manera de escribir el número 1 como una suma de 48 fracciones diferentes, donde cada numerador es 1 y cada denominador es un producto de dos primos:

A las fracciones cuyo numerador es 1 se les llama fracciones unitarias o egipcias, debido al uso común que existía, en esa civilización, de este tipo de fracciones. Todos los números racionales se pueden escribir como suma de fracciones egipcias y así los escribían los egipcios para los cálculos.

Pues bien, según una conjetura de Paul Erdös, cualquier número natural puede descomponerse en suma de fracciones egipcias tales que cada denominador es producto de tres primos distintosEste artículo la comenta.

Fue demostrada por Ronald L. Graham y Steve Butler y está intimamente relacionada con el Problema de Erdös-Graham.

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Dígitos secuenciados

Empezando con 46 se forma una secuencia de dígitos colocando en cada paso, a continuación del ultimo número escrito, el producto de los dos últimos dígitos que se escribieron.

Los primeros dígitos pueden verse en la imagen adjunta.

Calcula el dígito que está en la posición 1089

Con tres capicúas basta

El matemático español Javier Cilleruelo, que fue profesor de la Universidad Autónoma de Madrid y miembro del Instituto de Ciencias Matemáticas (fallecido hace dos años), junto con Florian Luca y Lewis Baxter, demostró que

cada número natural es la suma, como máximo, de 3 números naturales cuya representación en una base, mayor o igual a 5, es un capicúa

quedando los casos de bases B = 2, 3, 4 sin resolver.

Por ejemplo, en base 10,

389 = 11 + 55 + 323

Hemos llegado a usar una aplicación online  que descomponía los números, en base decimal, según el teorema indicado en esta dirección. Ya no nos funciona pero obtuvimos, por ejemplo, que

Recientemente se ha demostrado que esta afirmación también vale para las bases B = 3 y 4, siendo necesario un mínimo de 4 capicúas para la base binaria.

Más información en este enlace.

Números de tres cifras

Quique intercambia los dígitos de un número de 3 cifras distintas, y distintas de cero, de modo que ningún dígito queda en su posición original.

Después resta el número viejo menos el nuevo y el resultado es un número de 2 cifras que es un cuadrado perfecto.

Halla todos los resultados que puede obtener Quique.

Pirámide numérica

Escribe en cada casilla de la pirámide un número natural mayor que 1 de modo que

  • la casilla superior tenga escrito el número 560105280
  • el número escrito en cada casilla sea igual al producto de los números escritos en las dos casillas sobre las que está apoyada.