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Valores de x

¿Cuántos enteros positivos x  verifican que tanto x  como x+99 son cuadrados perfectos?

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Infinitos

Este vídeo de Red de Cerebros nos cuenta de manera diáfana qué significa el infinito en el mundo numérico que, por cierto, no es único: es sabido que la cantidad infinita de números reales es mayor que la cantidad infinita de números naturales y aquí nos explican por qué.

El juego de Euclides

Un excelente juego, de lápiz y papel, para dos o más jugadores.

Los jugadores piensan sendos números distintos del 1 al 100 y los marcan en un tablero 10×10 donde están escritos todos los números del intervalo citado.

Por turnos (hay que establecer, por sorteo, quién empieza) sucesivos cada jugador resta dos de los números marcados (el menor del mayor) y señala el número resultante en la tabla de la misma forma que los anteriores ya marcados.

Pierde el jugador al que le resulta imposible crear una diferencia positiva distinta a la de los números ya marcados en el tablero. Es decir, el jugador que señala el último y nuevo número gana el juego.

En el ejemplo que se muestra, dos jugadores han elegido el 65 y el 58.

Después se ha ido marcando sucesivamente los números 65-58=7,  58-7=51, 65-51=14, 65-7=44… y puede continuarse hasta que ya no se obtengan nuevos números.

Un juego, para dos jugadores, en el que se hayan elegido los números 8 y 2 acaba en la segunda diferencia: el primer jugador elegiría 8-2=6 y el siguiente 6-2=4, acabando ya todas las posibilidades de obtener una nueva diferencia positiva y ganando, entonces, el segundo jugador.

Para analizar bien el juego, y sus posibles estrategias ganadoras, es bueno señalar el conjunto inicial de números marcados y estudiar varias tablas de juego terminadas, comparando el patrón de los números marcados en cada juego. Lo ideal, en este caso, es que el juego a estudiar sea sólo para dos jugadores.

Javier Gómez, de la Universidad Politécnica de Cataluña, en el II Seminario sobre actividades para estimular el talento precoz en Matemáticas VI Reunión Nacional de Estalmat (Madrid, 14 de Marzo de 2009) explica el juego y lo analiza en este documento (págs. 23 a 27). Al leerlo se justifica el nombre del juego, pues está relacionado con el algoritmo de Euclides.

Para jugar online  existe una aplicación Java en Cut-The-Knot.

Llegar a 100

Esta calculadora tiene sólo dos teclas: +5 y ×5.

Cuando se enciende muestra 1 y cuando se pulsa una tecla muestra inmediatamente el resultado de la operación correspondiente.

¿Cuántas teclas, como mínimo, se deben presionar para que aparezca el número 100?

Triángulos heronianos

Herón de Alejandría fue un matemático griego del siglo I de la era actual, reconocido ingeniero e inventor y famoso por su conocida fórmula de Herón, que determina la superficie de cualquier triángulo en función de sus lados:

siendo s  el semiperímetro del triángulo, de lados a, b  y c

Un triángulo heroniano o de Herón es aquel en el que son números naturales tanto los valores de sus lados como el valor de su superficie, medida en las mismas unidades que los lados. El triángulo de Herón  se llama primitivo  si el máximo común divisor de las longitudes de sus lados es la unidad.

Cualquier triángulo rectángulo cuyos lados sean ternas pitagóricas es, por supuesto, de Herón ya que la superficie es la mitad del producto de sus catetos y uno de ellos, al menos, es par.

Así mismo, si construimos triángulos isósceles uniendo dos triángulos iguales de los anteriores por uno de sus catetos, los nuevos también son de Herón.

Euler encontró una generalización para las posibles longitudes de lados de los triángulos de Herón:

Dados

se verifica que las longitudes

son los lados de un triángulo de Herón.

En efecto, el semiperímetro es

y la superficie es

A través de http://mathworld.wolfram.com/HeronianTriangle.html podemos acceder a diversas series de OEIS basadas en los lados y/o las superficies de estos triángulos

Y aquí se muestra una curiosa serie de triángulos de Herón cuyos lados son de valores consecutivos: