Usando los números naturales de 1 a 22, ambos inclusive, se quieren formar once fracciones eligiendo uno de ellos como numerador y otro como denominador.
Si cada uno de los 22 números se usa exactamente una vez, ¿cuál es el mayor número de fracciones que pueden tener un valor entero?
Ésta es la solución del problema El pentágono, propuesto en la entrada del día 16 de abril:
Publicado en Soluciones
Una regla de Golomb es un conjunto de números enteros no negativos desde 0, marcados en una representación gráfica lineal, tales que cada par de ellos tienen distancias diferentes con cualquier otro par propio del conjunto y todas las distancias entre dichos pares abarcan valores naturales hasta un valor menor o igual al máximo del conjunto.
Esta regla fue definida por el matemático e ingeniero estadounidense Solomon W. Golomb.
Un ejemplo se encuentra en la distribución [0,1,4,6]
en la que puede observarse nítidamente la construcción determinada por la regla.
No hay ningún requisito de que una regla de Golomb pueda medir todas las distancias hasta su longitud máxima pero, si lo hace, se le llama en ese caso regla de Golomb perfecta como es la del ejemplo anterior. Son también perfectas la [0,1] y la [0,1,3]
Y una regla de Golomb es óptima si, para alcanzar el máximo, usa la menor cantidad de números en su construcción. Los ejemplos anteriores también lo son de reglas óptimas.
Se ha demostrado que no existe una regla de Golomb perfecta y óptima para cinco o más números.
En la imagen siguiente tenemos una regla de Golomb, óptima pero no perfecta, para valores hasta 11, [0,2,7,8,11] en una distribución para salas de conferencias a la que le falta la correspondiente a las 10 filas:
Otra regla de Golomb, también óptima y no perfecta, para valores hasta 11 sería [0,1,4,9,11], en la que falta la distancia 6.
La creación de reglas de Golomb es fácil, pero encontrar la regla de Golomb óptima para un fin determinado es computacionalmente muy difícil.
De hecho aún se está en estudio y en búsqueda las reglas óptimas y/o perfectas para cantidades superiores a 28 elementos de la distribución, lo cual exige cálculos combinatorios muy extensos.
Uno de los resultados prácticos de la regla de Golomb, se dice, es el diseño de radioantenas múltiples por desfase de onda en configuraciones de radiotelescopios, cosa que habría que revisar… 😉
Publicado en Combinatoria, Números
Etiquetado combinaciones, disposiciones espaciales, divulgación
Aquí está la solución del problema Loros, propuesto en la entrada del día 15 de abril:
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La longitud de un lado de un triángulo es 13 cm.
Si el producto de los tres lados es 1365, ¿cuál es el perímetro del triángulo?
Publicado en Geometría, Nivel 2, Problemas
Etiquetado descomposición factorial, perímetros, triángulos
Carlos, el día de su cumpleaños en este año, multiplica su edad por la de sus gemelos y obtiene 2013.
¿En qué año nació Carlos?
Publicado en Números, Nivel 2, Problemas
Etiquetado descomposición factorial, números naturales, razonamiento lógico
Tenemos aquí la solución del problema Cálculos polinómicos, propuesto en la entrada del día 13 de abril:
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Zenzizenzizenzic es la octava potencia de un número. Así, como suena.
Es una antigua manera de representar la octava potencia de un número (elevado a dos elevado a dos elevado a dos): el zenzizenzizenzic de un número x es x8, ¡chúpate esa!
Esto proviene de la época en que las potencias de un número eran escritas con palabras en vez de expresarlas exponencialmente con números.
Este “palabro” fue propuesto por Robert Recorde, un divulgador matemático del siglo XVI (¡y sigue asombrándote!) que, precisamente, fue el primero que usó el signo matemático ‘igual’ (=) y lo presentó en sociedad en 1557 tal y como lo conocemos.
En aquellos momentos era complicado escribir, de manera sencilla, las potencias de los números con exponentes superiores a 3 por lo que este personaje mezcla nomenclaturas italianas y alemanas medievales usadas por Leonardo de Pisa (Fibonacci) para dar lugar, razonadamente, a esta palabra tan ‘rara’.
Concretamente el vocablo zenzic es la escritura alemana de la palabra italiana de la época medieval censo, que significa cuadrado. Así, zenzizenzum es la escritura alemana de censo di censo, la potencia cuarta de un número tal y como la escribió Fibonacci en su famoso libro Liber Abaci. Otra palabra de la época es zenzicubic, número elevado a la sexta potencia.
De todas maneras en la wikipedia tenéis la respuesta, como casi siempre… 😉
Ésta es la solución del problema En la peluquería, propuesto en la entrada del día 12 de abril:
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Joaquín y Joan juegan un partido al mejor de cinco sets; es decir, el vencedor es el ganador de tres sets.
Si la probabilidad de que Joaquín gane cualquier set es dos tercios, ¿cuál es la probabilidad de que gane el partido?
Sobre todo, Matemáticas 