Archivo mensual: abril 2016

Fracciones de valor entero

fracUsando los números naturales de 1 a 22, ambos inclusive, se quieren formar once fracciones eligiendo uno de ellos como numerador y otro como denominador.

Si cada uno de los 22 números se usa exactamente una vez, ¿cuál es el mayor número de fracciones que pueden tener un valor entero?

Solución al problema “El pentágono”

Ésta es la solución del problema El pentágono, propuesto en la entrada del día 16 de abril:

Regla de Golomb

Una regla de Golomb es un conjunto de números enteros no negativos desde 0, marcados en una representación gráfica lineal, tales que cada par de ellos tienen distancias diferentes con cualquier otro par propio del conjunto y todas las distancias entre dichos pares abarcan valores naturales hasta un valor menor o igual al máximo del conjunto.

Esta regla fue definida por el matemático e ingeniero estadounidense Solomon W. Golomb.

Un ejemplo se encuentra en la distribución [0,1,4,6]

golomb6

en la que puede observarse nítidamente la construcción determinada por la regla.

No hay ningún requisito de que una regla de Golomb pueda medir todas las distancias hasta su longitud máxima pero, si lo hace, se le llama en ese caso regla de Golomb perfecta como es la del ejemplo anterior. Son también perfectas la [0,1] y la [0,1,3]

Y una regla de Golomb es óptima si, para alcanzar el máximo, usa la menor cantidad de números en su construcción. Los ejemplos anteriores también lo son de reglas óptimas.

Se ha demostrado que no existe una regla de Golomb perfecta y óptima para cinco o más números.

En la imagen siguiente tenemos una regla de Golomb, óptima pero no perfecta, para valores hasta 11, [0,2,7,8,11] en una distribución para salas de conferencias a la que le falta la correspondiente a las 10 filas:

golomb11

Otra regla de Golomb, también óptima y no perfecta, para valores hasta 11 sería [0,1,4,9,11], en la que falta la distancia 6.

La creación de reglas de Golomb es fácil, pero encontrar la regla de Golomb óptima para un fin determinado es computacionalmente muy difícil.

De hecho aún se está en estudio y en búsqueda las reglas óptimas y/o perfectas para cantidades superiores a 28 elementos de la distribución, lo cual exige cálculos combinatorios muy extensos.

Uno de los resultados prácticos de la regla de Golomb, se dice, es el diseño de radioantenas múltiples por desfase de onda en configuraciones de radiotelescopios, cosa que habría que revisar… 😉

Solución al problema “Loros”

Aquí está la solución del problema Loros, propuesto en la entrada del día 15 de abril:

Perímetro triangular

triangLa longitud de un lado de un triángulo es 13 cm.

Si el producto de los tres lados es 1365, ¿cuál es el perímetro del triángulo?