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Triángulos heronianos

Herón de Alejandría fue un matemático griego del siglo I de la era actual, reconocido ingeniero e inventor y famoso por su conocida fórmula de Herón, que determina la superficie de cualquier triángulo en función de sus lados:

siendo s  el semiperímetro del triángulo, de lados a, b  y c

Un triángulo heroniano o de Herón es aquel en el que son números naturales tanto los valores de sus lados como el valor de su superficie, medida en las mismas unidades que los lados. El triángulo de Herón  se llama primitivo  si el máximo común divisor de las longitudes de sus lados es la unidad.

Cualquier triángulo rectángulo cuyos lados sean ternas pitagóricas es, por supuesto, de Herón ya que la superficie es la mitad del producto de sus catetos y uno de ellos, al menos, es par.

Así mismo, si construimos triángulos isósceles uniendo dos triángulos iguales de los anteriores por uno de sus catetos, los nuevos también son de Herón.

Euler encontró una generalización para las posibles longitudes de lados de los triángulos de Herón:

Dados

se verifica que las longitudes

son los lados de un triángulo de Herón.

En efecto, el semiperímetro es

y la superficie es

A través de http://mathworld.wolfram.com/HeronianTriangle.html podemos acceder a diversas series de OEIS basadas en los lados y/o las superficies de estos triángulos

Y aquí se muestra una curiosa serie de triángulos de Herón cuyos lados son de valores consecutivos:

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Las constelaciones

Las constelaciones son conjuntos de estrellas que han sido agrupadas al observar el cielo. Las estrellas de una constelación no están necesariamente próximas y pueden encontrarse a cientos de años luz unas de otras. Además, dichos grupos son completamente arbitrarios ya que distintas culturas han ideado constelaciones diferentes, incluso vinculando las mismas estrellas. La principal utilidad de las constelaciones es la de servir para ubicar los objetos en el cielo.

Hay 88 constelaciones, es decir, la bóveda celeste se ha subdividido en 88 sectores definidos y a cada una le corresponde una determinada región del cielo: hay constelaciones visibles desde ambos hemisferios de la Tierra y otras observables sólo desde uno de ellos.

Entre las constelaciones más conocidas se hallan las que se encuentran proyectando el plano de la órbita de la Tierra sobre el fondo de las estrellas fijas: son las constelaciones del Zodíaco. Y fuera de la banda zodiacal algunas muy conocidas son Cruz del Sur (visible desde el hemisferio Sur) y Osa Menor (visible desde el hemisferio Norte) ya que las mismas permiten ubicar la posición de importantes puntos de referencia: polo sur y norte celestes, respectivamente.

De las constelaciones y otras muchas cosas nos habla este interesante vídeo:

Este otro vídeo ofrece bastantes recursos para localizar estrellas y constelaciones en el cielo.

Y hay varias aplicaciones para navegar entre estrellas y constelaciones y estudiarlas, como Celestia, Cartes du Ciel, Stellarium o Google Earth.

Matemática y sufragio

¿Cómo hacer para que una elección sea lo más representativa posible?, ¿existe un método que sea capaz de expresar el deseo de la población en su conjunto, teniendo en cuenta además las preferencias individuales? En 1951 el economista Kenneth J. Arrow, Premio Nobel de Economía en 1972, demostró que, en cualquier elección donde haya más de dos candidatos y más de tres electores, es imposible implementar un sistema de votación que permita generalizar las preferencias de los individuos hacia una preferencia global de la comunidad.

¿Cómo se eligen los sistemas de representación en las sociedades democráticas?, ¿por qué no son iguales en todos los países? El divulgador matemático argentino Adrián Paenza nos cuenta, en esta colección de ocho vídeos, los distintos modelos de representatividad que propone la matemática, y los ejemplifica a partir de casos cotidianos.

El legado musulmán

Desde el canal  de HispanTV mostramos un capítulo de la serie Raíces dedicado a las matemáticas.

Este interantísimo vídeo reflexiona sobre la enorme aportación del mundo islámico y árabe al desarrollo y la difusión de las matemáticas en la Península Ibérica y demás regiones europeas en la Edad Media.

Arquímedes y los griegos

Arquímedes es, sin duda, una de las grandes figuras de la Antigüedad y uno de los matemáticos más sobresalientes que han existido.

Ya se publicó, hace más de un año, un artículo titulado Arquímedes de Siracusa que incluye un vídeo contando su vida y sus estudios, experimentos e inventos.

En dicho vídeo se utilizan escenas del capítulo Arquímedes y los griegos de la serie de televisión Érase una vez… los inventores que aquí se muestra completo:

En este vídeo se habla de otros matemáticos, como Eratóstenes y su medición del radio de la tierra.

Como colofón y para complementar ambos vídeos se puede leer el libro Arquímedes, el genio de Siracusa