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La simetría, las simetrías

En una interesante charla de TED el famoso matemático y divulgador Marcus du Sautoy habla sobre la ubicuidad de la simetría en la vida real: el mundo gira alrededor de la simetría, aunque la forma de hacerlo es más compleja de lo que parece a simple vista.

Y nos descubre, inevitablemente, a Galois como el creador de la manera de estudiar y organizar matemáticamente las distintas simetrías sobre un mismo objeto.

 

El triángulo de Pascal (5)

Hace tiempo que no hablamos del Triángulo de Pascal y de sus asombrosas propiedades

Una más de las curiosidades que aparecen en él es la de las flores de Pascal:

florpascal

Se cumple que, construyendo una flor  de seis pétalos alrededor de uno cualquiera de los números interiores del triángulo, el producto de tres pétalos alternos es igual al de los otros tres.

Observad los tres ejemplos que aparecen. Los productos de los pétalos con números rojos son iguales a los respectivos productos de los pétalos con los números azules:

2 x 6 x 1 = 1 x 3 x 4
1 x 21 x 5 = 1 x 7 x 15
15 x 56 x 7 = 6 x 35 x 28

… y esto sucede, como hemos dicho, ¡en cualquier parte del triángulo!

La magia de esta propiedad desaparece si consideramos los números del triángulo de Pascal como lo que son: números combinatorios.

Si escribimos así los números que intervienen en las flores  tenemos que

por lo que se están planteando las igualdades

y, en general, la igualdad

Dicha igualdad es evidente pues

y

y ambas expresiones son idénticas, como puede observarse.

Mentes brillantes. Los secretos del Cosmos

mbrUn documental de RTVE sobre cuatro genios de la ciencia:  Galileo, Newton, Einstein y Hawking.

Cada uno era un rebelde a su manera, con una visión radicalmente nueva del cosmos.

Todos cambiaron el mundo descifrando una parte del universo, partiendo de las matemáticas, desde lo cotidiano hasta lo infinitamente inalcanzable.

Imprescindible

Evolución de los números indoarábigos

La enciclopedia Británica nos muestra en una imagen la evolución de la escritura de los números indoarábigos,  desde la precursora numeración Brahmi hasta los expuestos en el cuadrado mágico del grabado Melancolía, de Durero.

evol

El sistema de numeración indoarábigo se originó en la India en el siglo VI o VII y se introdujo en Europa a través de los matemáticos árabes del siglo XII. Representaba una ruptura profunda con los anteriores métodos de conteo como el ábaco y allanó el camino para el desarrollo del álgebra.

El valor real de i^i

Todo el mundo, en el ámbito matemático, conoce la identidad de Euler

identidadeuler

deducida como un caso particular de la fórmula de Euler. Esta se obtiene a partir de las expresiones de las razones trigonométricas seno y coseno y de la función exponencial en series de Taylor; en Gaussianos podéis ver la deducción de manera muy clara.

Pues bien, de esa identidad se puede obtener el valor de una potencia en la que base y exponente son, ambos, el número imaginario i. ¡Y ese valor es real!

dem

que es un valor real. Es decir,

valor