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Fracción de sumas

Sean las sumas

Halla la fracción irreducible S/T

Sin palabras

Este vídeo ha sido premiado con una Mención de Honor de Cortos Científicos en la XXIª edición del concurso Ciencia en Acción y está realizado por los profesores Ana García y Manuel Martínez, del IES Cristóbal Colón de Sanlúcar de Barrameda de Cádiz.

Consiste en una atractiva comprobación de igualdades numéricas, formadas por conocidas series y regularidades matemáticas, a través de la Geometría.

Y este documento pretende servir de guía para plantearnos, viendo el vídeo, reflexiones y generalizaciones sobre las construcciones numéricas que subyacen en las estructuras geométricas.

Pi y el triángulo de Pascal

Un ingeniero estadounidense, Daniel Hardisky, descubrió que el número π se encuentra en el triángulo de Pascal .

Concretamente, usando la serie de los números coloreados del triángulo

planteó la igualdad

que relaciona el triángulo de Pascal y el número π.

Esta expresión es una variación de la dada por el matemático indio  Nilakantha Somayaji:

Haciendo

se obtiene la expresión que propuso Hardisky.

Las proporciones de Galileo

En la web de divulgación matemática Lemnismath hemos encontrado un precioso artículo que explica, y justifica gráficamente, esta notable curiosidad matemática relacionada con los números impares

o esta, de similares características,

Ambas se incluyen en esta expresión que engloba y generaliza esta serie de igualdades tan particulares:

En la página citada les llaman las proporciones de Galileo. Interesante su lectura, que aconsejamos vivamente.

La secuencia de Recamán

Bernardo Recamán Santos es un matemático colombiano famoso por esta secuencia.

Es una serie con resultados muy interesantes que sigue, como otras, unas reglas específicas para ser generada y que se podrían definir en una sentencia como la regla de substraer si se puede y, si no, añadir.

La definición formal es como sigue:

  • Se inicia con una lista de números con el valor cero como origen.
  • Se hacen saltos en la secuencia del tamaño de la suma de los números naturales, 1, 2, 3, etc.
  • Primero se intenta mover la secuencia hacia atrás en dirección de los números menores.
  • Solamente si el número es mayor de cero, y no ha sido previamente seleccionado, se puede ir hacia atrás. De no ser así la secuencia se mueve hacia adelante.

Y la fórmula generadora es:

  • a0 = 0
  • an = an-1n   si es positivo y no está en la lista.
  • an = an-1 + n  en cualquier otro caso.

Para ver gráficamente este ejercicio, podemos revisar como se genera la secuencia de Recamán para los primeros 7 números naturales.

Y, aquí, un vídeo de Numberphile, subtitulado, donde aclara todas las dudas si las hubiera y muestra propiedades muy interesantes..

 

Por supuesto, está clasificada en OEIS: es la serie A005132

Tira numérica

En un rectángulo de 1 x 101, dividido en casillas cuadradas de 1 x 1, Guille escribió un número entero en cada casilla de manera tal que la suma de los tres números escritos en tres casillas consecutivas era siempre igual a 9. Luego borró todos los números escritos excepto el de la tercera casilla y el de la décima casilla, contadas de izquierda a derecha: un 3 y un 10 respectivamente.

Halla el número que había escrito Guille en la última casilla.