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De Motzkin a Fibonacci

Definíamos el otro día los números de Motzkin, que formaban la serie A001006 de OEIS:

1, 1, 2, 4, 9, 21, 51, 127, 323, 835, 2188, 5798, 15511, …

Según un estudio de Toni Foster, psicólogo texano, existe una íntima relación entre esta serie y la de Fibonacci

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …

que vamos a mostrar aquí:

1) Desde la serie de números de Motzkin, {mi ; i=0,1,2,3,…} construimos una nueva serie a partir de la expresión ni = 2mi + mi+1 ; i=0,1,2,3,…:

n0 = 2m0 + m1 = 2×1 + 1 = 3 ;
n1 = 2m1 + m2 = 2×1 + 2 = 4 ;
n2 = 2m2 + m3 = 2×2 + 4 = 8 ; …

obteniéndose la serie 3, 4, 8, 17, 39, 93, 229, …

2) Calculamos los determinantes de las sucesivas matrices de Hankel de orden k construidas tomando los 2k-1 primeros términos de esa última serie, obteniendo

que son los números de Fibonacci situados en la serie en la posición 2k+2

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Números de Motzkin

Imagínate una cuadrícula n×n en la que estableces un camino de n tramos que va desde la esquina inferior izquierda hasta la esquina inferior derecha y en el que cada tramo es un segmento que une el vértice final del tramo anterior con uno que se encuentre inmediatamente a su derecha, hasta llegar al último vértice.

Veamos los caminos posibles para cada uno de los primeros órdenes de cuadrícula:

Cada uno de los números, que expresan la cantidad de caminos posibles, se llama número de Motzkin.

Definimos axiomaticamente el primer número de Motzkin como 1, “número de caminos” correspondientes a la cuadrícula 0×0.

Si continuamos el estudio veremos que la serie que forman dichos números es

1, 1, 2, 4, 9, 21, 51, 127, 323, 835, 2188, 5798, …

y está referenciada en OEIS como la sucesión A001006.

Estos números pueden definirse también como la cantidad de maneras distintas de dibujar cuerdas que no se intersecan en un círculo entre n puntos.

La serie armónica

Navegando por la Red nos hemos encontrado con este cartel de la película de ciencia-ficción Divergente estrenada en 2014.

Como se puede ver, el título de la película se ha sustituido (con un guiño matemático) por la serie armónica

que es la suma de todos los inversos de los números naturales y el ejemplo más claro de serie divergente, o sea, que tiene límite infinito.

En este vídeo, del canal MateFacil, se demuestra la divergencia de la serie armónica:

La suma de los n primeros cuadrados naturales

La suma de los cuadrados de los n primeros números naturales se obtiene con la fórmula

cuya demostración detallada puede verse en lasmatematicas.eu

Una deducción gráfica de la fórmula muy interesante se muestra en este vídeo:

Aunque está en inglés, se sigue perfectamente.

Dígitos secuenciados

Empezando con 46 se forma una secuencia de dígitos colocando en cada paso, a continuación del ultimo número escrito, el producto de los dos últimos dígitos que se escribieron.

Los primeros dígitos pueden verse en la imagen adjunta.

Calcula el dígito que está en la posición 1089