Del siglo XXI

¿Cuántos años del siglo XXI verificarán la propiedad de que dividiendo el número del año por 2, 3, 5 y 7 obtengamos siempre de resto 1?

Cuadrados perfectos

¿Qué enteros positivos n verifican que tanto n como n+99 son cuadrados perfectos?

Dos cuadrados perfectos

Se tiene un número de 4 dígitos que es un cuadrado perfecto.

Se construye otro número sumándole 1 al dígito de las unidades, restándole uno al de las decenas, sumándole uno al de las centenas, y restándole uno al dígito de las unidades de millar y siempre sin que las operaciones citadas afecten al siguiente orden de los dígitos.

Si el número que se obtiene también es un cuadrado perfecto, encuentra el número original.

22 de febrero

El próximo martes, 22 de febrero, es una fecha capicúa si se escribe en el formato del país: 22-02-2022 es

Si además está escrita con cifras de tipo “digital”, como en este caso, el número presenta una simetría central de manera que si giramos el número 180^o este vuelve a leerse exactamente igual que antes del giro.

Es capicúa, par y compuesto, y su descomposición factorial es

22022022 = 2 × 3 × 11 × 333667

Un número concreto

Halla un número entero positivo N tal que la suma de N más su mayor divisor propio sea igual a 933.

Otro número especial

Muchos números naturales destacan por sus especiales y excepcionales propiedades que los diferencian de los demás.

Uno de ellos es el número

cuya descomposición en factores primos reproduce la secuencia numérica con la que está construido:

Esta propiedad fue la causa de una curiosa historia de retos matemáticos:

En la web OEIS (On-line Encyclopedia of Integer Sequences), la serie A080670 se construye concatenando los digitos (incluidos exponentes) que aparecen en la descomposición factorial  de cada número de manera natural.

Así, como 1=1; 2=2; 3=3; 4=2²; 5=5; 6=2×3; 7=7; 8=2³; 9=3²; … la serie es 1; 2; 3; 22; 5; 23; 7; 23; 32; …

Otra serie, la A195264, se construye, para cada número, iterando el proceso anterior hasta que aparezca la unidad o un número primo, o dando el valor -1 en caso contrario.

Observamos aquí que 1→1; 2→2 (primo); 3→3 (primo); 4=2²→22=2×11→211 (primo); 5→5 (primo); 6=2×3→23 (primo); 7→7 (primo); 8=2³→23 (primo); 9=3²→32=2⁵→25=5²→52=2²x13→2213 (primo); … por lo que la serie es, en este caso, 1; 2; 3; 211; 5; 23; 7; 23; 2213; …

Pues bien, el famoso matemático JH Conway estableció la conjetura climb to a prime de que, en esta serie, en ningún momento aparecería el valor -1, Es decir, todo número llegaría, en sus iteraciones, a un primo o a 1… y ofreció 1000$ a quien la refutase.

En 2017 el físico James Davis descubrió este número, evidente contraejemplo de la conjetura citada, y ganó el premio.