Varios divisores

Halla un número natural n tal que

• tiene como únicos divisores primos a los números 2, 5 y 7
• el número 5n tiene 8 divisores más que n
• el número 8n tiene 18 divisores más que n

Potencia de 7

Sea N el número que se obtiene al multiplicar todos los números enteros impares desde 1 hasta 2020.

Calcula el mayor valor entero positivo de x tal que 7^x divide a N.

Una base desconocida

En un problema interviene un número natural escrito en cierta base menor que 10.

Un alumno cree que está escrito en base decimal y, al intentar resolver el problema, comete por ello un error igual a 2051. 

¿En qué base está escrito el número original?

Un cuadrado perfecto

Halla un cuadrado perfecto tal que al sumarle 100 sea igual a un cuadrado perfecto más 1 y al sumarle nuevamente 100 sea un cuadrado perfecto.

Deuda con Hacienda

El Sr. Potentado debe 5.000 millones de ecus al Estado.

Al inspector de Hacienda, que había ido expresamente a recordárselo, le comentó: “En orden creciente, tengo derecho a algunos descuentos en esta suma. Primero un descuento de un a% por los firlucios, luego un b% por haber modernizado mis fábricas con los krokos, luego el c% porque estoy en un sector de alta succión económica y finalmente un d% por bonos europeos de camelamen”, siendo todos los porcentajes números enteros positivos.

“¡Cierto!”, admitió el inspector, “con todos los cálculos realizados, ¡sólo deberás 3.095.547.000 €! “

“Debes estar equivocado, creo que es bastante menos de 3 mil millones …”

“En absoluto”, respondió el experto en la materia, “eres tú quien está en error al descontar (a+b+c+d)%. Lo que se debe hacer es calcular un a% de descuento en 5 mil millones, luego un descuento de b% de lo que nos queda, y así sucesivamente … ¡es distinto! “

¿Cuánto pensó elSr. Potentado que le debía al Estado?

Un número notable

Si n es un número natural, denotamos S(n) a la suma de los dígitos de n. Por ejemplo, S(789)=7+8+9=24

Halla el menor número natural n tal que la suma de los dígitos de n multiplicada por la suma de los dígitos del número siguiente a n es igual a 141, es decir,