Un gran número

Sea x el menor entero positivo que satisface simultáneamente que 2x es el cuadrado de un entero, 3x es el cubo de un entero y 5x es la potencia quinta de un entero.

Halla x.

Pares de cuadrados

Halla todos los pares A, B de cuadrados perfectos de cuatro dígitos que verifican simultáneamente:

• Tanto A como B tienen un dígito repetido y los otros dos distintos. Ademas, el dígito repetido es el mismo en ambos números y ocupa exactamente las mismas posiciones.
• En cada una de las dos posiciones restantes, el dígito de A supera al de B en una unidad. 

Puntos visibles

Se consideran los puntos del plano P=(x,y) con sus dos coordenadas enteras. Diremos que P es visible desde O=(0,0) si el segmento OP no contiene otros puntos de coordenadas enteras además de O y P.

Determina cuántos puntos Q de la forma Q=(x,2020) con x entero, 1≤x≤2020, son visibles desde O.

Dos naturales

Sean A y B dos números naturales de tres cifras cada uno.

Si se escriben las cifras de A a continuación de las cifras de B se obtiene un número de seis cifras que es igual a 6 veces el número de seis cifras que se obtiene al escribir las cifras de B a continuación de las de A.

Halla A y B.

Construcción de un cuadrado

¿Cuál es el menor número de elementos que hay que quitar del conjunto

para que el producto de los restantes elementos del conjunto sea un cuadrado perfecto?

El concurso de la tele

En un concurso de televisión compiten dos equipos A y B realizando distintas pruebas.

En cada prueba el ganador recibe siempre la misma cantidad de puntos y el perdedor recibe una cantidad de puntos menor que el ganador, pero también es siempre la misma cantidad.

Al cabo de varias pruebas, el equipo A tiene 231 puntos y el equipo B, que ganó exactamente 3 pruebas, tiene 176 puntos.

Determina cuántos puntos reciben el ganador y el perdedor de cada prueba sabiendo que, en ambos casos, son valores naturales.