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Infinite patterns

Cristóbal Vila vuelve a maravillarnos con un nuevo vídeo, envuelto en la música de  Cedric Baravaglio (Heart Beat), que pretende ser la fusión de los intereses de dos trabajos anteriores: Nature by Numbers y Ars Qubica.

El subtítulo que lo acompaña, conectando geometría naturaleza y arquitectura, declara su contenido.

Como con otros vídeos anteriores, autor muestra el proceso de creación del vídeo y detalla minuciosamente los conceptos, y sus fundamentos teóricos, que se aplican. Todo ello en esta página.

Es imprescindible verlo con gran atención para no perderse ningún detalle, y se aconseja haber leído y visto previamente todas las explicaciones citadas.

El número de la bestia y la divina proporción

Una sencilla fórmula matemática relaciona a ambos números (prácticamente iguales), el 666 y la razón áurea:

Curiosamente, también se verifica que

La espiral de Harriss

Edmund Harriss, profesor del departamento de Matemáticas de la Universidad de Arkansas, descubrió una curva fractal generada  a partir de la proporción áurea:

En este artículo se explica paso a paso cómo se construye.

A raíz de este descubrimiento amplia el estudio al llamado sistema de proporciones de Harriss, detallado en el mismo artículo y que permite investigar sobre otro tipo  de espirales.

El artículo citado es una traducción, del inglés, de este otro de The Guardian, más extenso y donde se muestran las variaciones sobre espirales.

Además de esta curva, este matemático muestra en su blog

Maxwell’s Demon

entre otros trabajos muy interesantes construcciones artísticas como esta

o esta

con las respectivas explicaciones detalladas para su construcción.

Muy recomendable un paseo por el blog.

La razón áurea

Mucho se ha hablado de la razón áurea. Y en este blog también.

Este vídeo de Numberphile es otro más de este canal que habla de ella y lo hace desde una perspectiva original, intentando justificar la causa por la que la distribución óptima de los pétalos o las semillas de las flores, intentando cubrir uniformemente todo el espacio, se ajustan a esta proporción.

Con subtítulos en castellano, es muy aconsejable verlo.

Biomímesis: biogeometría

Excelente documental, emitido por el segundo canal de RTVE,  que plantea la evolución de animales y plantas según unas reglas geométricas, como las que rigen el crecimiento espiral de una concha.

Palabra de Fibonacci

Uno de los conceptos matemáticos más conocidos, y protagonista habitual de artículos divulgativos, es la sucesión de Fibonacci, generadora de la razón aúrea y presente en diferentes contextos en la vida real.

Recordemos, por si hiciera falta, como se construye:

Dados dos valores iniciales F(1) = 0 y F(2) = 1, se forman los siguientes de la sucesión mediante la suma de sus dos anteriores:

F(n) = F(n-1) + F(n-2)

dando lugar a la sucesión

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …

Observemos una interpretación gráfica (de muchas) de esta sucesión: la espiral de Fibonacci, que es una aproximación a la espiral dorada.

En base a la construcción de esta sucesión se definen otras series y conceptos, variando valores de términos iniciales o usando elementos y operaciones con cierta analogía.

Una de las interesantes definiciones, en este contexto, es la palabra de Fibonacci.

El concepto aparece a partir de la creación de una serie con cadenas de dígitos binarios y la concatenación de dichas cadenas como operación: definimos dos valores iniciales

P(1) = 0 y P(2) = 01

y construimos los siguientes elementos de la serie mediante la concatenación de sus dos anteriores:

P(n) = P(n-1)P(n-2)

dando lugar a la sucesión de términos

0, 01, 010, 01001, 01001010, 0100101001001, …

que llamamos palabras binarias, y cuyas longitudes (número de dígitos) siguen la sucesión de Fibonacci.

Pues bien, el término límite es la llamada palabra (infinita) de Fibonacci, cuyos elementos (dígitos) forman la secuencia A003849 en OEIS.

Observando los términos, si eliminamos sus dos últimos dígitos obtenemos siempre una palabra capicúa o palindrómica.

Como cada palabra está subsumida en las todas posteriores, se puede intuir una interpretación fractal  de la palabra de Fibonacci.