Tres aproximaciones de π

Gráfico de la convergencia al valor de π de distintas series clásicas:

• Serie de Gregory-Madhava o serie de Leibniz-Madhava
• Aproximación de Euler
• Aproximación de Ramanujan

El romance de la derivada y el arcotangente

Veraneaba una derivada enésima en un pequeño chalet, situado en la recta del infinito del plano de Gauss, cuando conoció a un arcotangente simpatiquísimo y de espléndida representación gráfica que, además, pertenecía a una de las mejores familias trigonométricas…

Enseguida notaron que tenían propiedades comunes. Un día, en casa de una parábola que había ido a pasar allí una temporada con sus ramas alejadas, se encontraron en un punto aislado de ambiente muy íntimo. Se dieron cuenta que convergían hacia límites cuya diferencia era tan pequeña como se quisiera: había nacido un romance. Acaramelados en un entorno de radio épsilon, se dijeron mil teoremas de amor.

Cuando el verano pasó, y las parábolas habían vuelto al origen, la derivada y el arcotangente eran novios. Entonces, empezaron los largos paseos por las asíntotas siempre unidos por un punto común, los interminables desarrollos en serie bajo los conoides llorosos del lago, las innumerables sesiones de proyección ortogonal… Hasta fueron al circo, donde vieron a un tropel de funciones logarítmicas dar saltos infinitos en sus discontinuidades. En fin, lo que eternamente hacían los novios.

Durante un baile organizado por unas cartesianas, primas del arcotangente, la pareja pudo tener el mismo radio de curvatura en varios puntos. Las series melódicas eran de ritmos uniformemente crecientes y la pareja giraba entrelazada alrededor de un mismo punto doble. Del amor había nacido la pasión.

Enamorados locamente, sus gráficas coincidían en más y más puntos. Con el beneficio de las ventas de unas fincas que tenía en el campo complejo, el arcotangente compró un recinto cerrado en el plano de Riemann. En la decoración se gastó hasta el último infinitésimo. Adornó las paredes con unas tablas de potenciales de «e» preciosas y puso varios cuartos de divisiones del término independiente que costaron una burrada.

Empapeló las habitaciones con las gráficas de las funciones más conocidas, y puso varios paraboloides de revolución chinos de los que surgían desarrollables tangenciales en flor. Y Bernouilli le prestó su lemniscata para adornar su salón durante los primeros días. Cuando todo estuvo preparado el arcotangente se trasladó al punto impropio y contempló satisfecho su dominio de existencia.

Varios días después fue en busca de la derivada de orden n y, cuando llevaban un rato charlando de variables arbitrarias, le espetó sin más: «¿Por qué no vamos a tomar unos neperianos a mi apartamento? De paso lo conocerías, ha quedado monísimo». Ella, a la que le quedaba muy poco para anularse y tras una breve discusión del resultado, aceptó.

El novio le enseñó su dominio y quedó integrada. Los neperianos y una música armónica simple hicieron que entre sus puntos existiera una correspondencia unívoca. Unidos así miraron al espacio euclídeo. Los asteroides rutilaban en la bóveda de Viviany… ¡eran felices!

– «¿No sientes calor?» Dijo ella.
– «Yo sí, ¿y tú?».
– «Yo también».
– «Ponte en forma canónica. Estarás más cómoda».

Entonces él le fue quitando constantes y, después de artificiosas operaciones, la puso en paramétricas racionales.

– «¿Qué haces? Me da vergüenza….» dijo ella.
– «Te amo, ¡yo estoy inverso por ti….!».
– «Déjame besarte la ordenada en el origen….¡No seas cruel!…..¡ven!.».
– «Dividamos por un momento la nomenclatura ordinaria y tendamos juntos al infinito.».

Él le acarició sus máximos y sus mínimos y ella se sintió descomponer en fracciones simples.

Al cabo de algún tiempo, la derivada enésima perdió su periodicidad. Posteriores análisis algebraicos demostraron que su variable había quedado incrementada y su matriz era distinta de cero. Ella le confesó a él, saliéndole los colores «voy a ser primitiva de otra función». Él la respondió: «podríamos eliminar el parámetro elevando al cuadrado y restando». «Eso es que ya no me quieres». «No seas irracional, claro que te quiero. Nuestras ecuaciones formarán una superficie cerrada, confía en mi».

La boda se preparó en un tiempo diferencial de «t», para no dar que hablar en el círculo de los 9 puntos. Los padrinos fueron el padre de la novia, un polinomio lineal de exponente entero, y la madre del novio, una curva de doble asíntota. La novia lucía coordenadas cilíndricas de Satung y velo de puntos imaginarios. Ofició la ceremonia Cayley, auxiliado por Pascal y el nuncio S.S. Monseñor Ricatti.

Hoy día el arcotangente tiene un buen puesto en una fábrica de series de Fourier y ella cuida en casa de cinco lindos términos de menor grado, producto cartesiano de su amor.

Límite

Calcula

Problemas con el cero

¿Un número natural dividido por cero es igual a infinito?: ¡NO!, y los profesores del canal Numberphile se encargan de explicarlo en este vídeo.

Y no solo hay problemas con esta operación, sino con la potencia de base y exponente igual a cero.

Matt Parker y James Grime reflexionan sobre las operaciones con este número tan especial, que algunos consideran natural y otros no, y razonan las contradicciones que se presentan a pretender obtener un resultado concreto cuando se intentan resolver las operaciones citadas.

Integral indefinida

Halla

La suma Cesàro

La suma Cesàro es un método matemático para asignar valores a series infinitas no necesariamente convergentes.

Si una serie es convergente el valor de su suma es la suma Cesàro de la serie.

Por ejemplo, la serie
es convergente y su suma es 1, siendo esta también su suma Cesàro.

En general, la suma Cesàro de una serie se define como sigue:

Veamos el caso para la serie divergente

Sus sumas parciales son

La sucesión de los promedios es 1; 1/2; 2/3; 2/4; 3/5; 3/6; … que converge claramente:

Por lo tanto, la suma Cesàro de la serie divergente citada existe y tiene un valor de 1/2

Momentos matemáticos

La AMS (siglas en inglés de la Sociedad Matemática Americana) edita una serie de pósteres llamados Momentos Matemáticos en los que se “promueve el aprecio y la comprensión del papel que tienen las matemáticas en las ciencias, la naturaleza, la tecnología y la cultura humana”.

Estos pósteres, casi 60, están editados en PDF de 8”x11” de tamaño y en distintos idiomas, entre ellos el castellano.

Pulsando en este ejemplo de póster podéis acceder a la página que contiene todas las referencias a ellos, listos para descargar

o pulsar en este enlace.

El elefante de Fibonacci

Daniel Mentrard es profesor de Matemáticas, muy conocido (y reconocido) en el ámbito de la creación de applets de Geobebra  y Desmos.

Muy activo en las redes, posee sendos blogs dedicados a ambas tecnologías llamadas Geogebra for all y Desmos for all y una tercera página en la que clasifica los applets. Todas ellas están desactualizadas

En la última página hay una reflexión sobre el uso racional de las TIC en la enseñanza de las Matemáticas muy acertada para este redactor.

También posee un canal de Youtube y una cuenta de Twitter.

Hace un año creó un applet llamado el elefante de Fobonacci con la espiral áurea formando la trompa y que se hizo bastante conocido. Aquí, en el gif al que se accede pulsando en la imagen, se muestra la animación creada.

Como las demás, la página que tiene en la web de Geogebra es interesantísima, muy extensa y está actualizada.

Muy recomendable entrar en todas sus páginas y aprovechar los applets que se vean interesantes para el aula

La misma idea matemática

… en dos imágenes

Derivando por simplificación

simplificando…

…se obtiene la derivada del inverso de x.