El triángulo de Pascal (5)

Hace tiempo que no hablamos del Triángulo de Pascal y de sus asombrosas propiedades

Una más de las curiosidades que aparecen en él es la de las flores de Pascal:

florpascal

Se cumple que, construyendo una flor  de seis pétalos alrededor de uno cualquiera de los números interiores del triángulo, el producto de tres pétalos alternos es igual al de los otros tres.

Observad los tres ejemplos que aparecen. Los productos de los pétalos con números rojos son iguales a los respectivos productos de los pétalos con los números azules:

2 x 6 x 1 = 1 x 3 x 4
1 x 21 x 5 = 1 x 7 x 15
15 x 56 x 7 = 6 x 35 x 28

… y esto sucede, como hemos dicho, ¡en cualquier parte del triángulo!

La magia de esta propiedad desaparece si consideramos los números del triángulo de Pascal como lo que son: números combinatorios.

Si escribimos así los números que intervienen en las flores  tenemos que

por lo que se están planteando las igualdades

y, en general, la igualdad

Dicha igualdad es evidente pues

y

y ambas expresiones son idénticas, como puede observarse.

4 Respuestas a “El triángulo de Pascal (5)

  1. Juan Carlos Guilarte Rangel (Venezuela)

    Si «&(d, p)» representa a un elemento o número cualquiera del triángulo de Pascal ubicado en la p-esima posición de la d-esima diagonal del referido triángulo; entonces el mismo viene dado por la expresión siguiente:
    &(d, p)=(d+p-2)!÷(d-1)!×(p-1)!
    Dicha fórmula permite explicar cada una de las propiedades y curiosidades asociadas al triángulo aritmético.

  2. Juan Carlos Guilarte Rangel

    Si «&(d, p)» representa a cualquier elemento o número cualquiera del triángulo de Pascal ubicado en la p-esima posición de la d-esima diagonal entonces el mismo viene dado por la expresión siguiente:
    &(d, p)=(d+p-2)!÷(d-1)!×(p-1)!
    Esta fórmula permite explicar, entre otras, la curiosidad de » la flor de Pascal» la cual involucra el producto de dos terna de elementos que con respecto al número elegido como centro de la flor no tienen simetría con las diagonales que contienen o son vecinas a dicho centro. Siendo el producto de tales ternas siempre iguales.

  3. Juan Carlos Guilarte Rangel

    * Por qué todos los elementos de la tercera diagonal del triángulo de Pascal son números triangulares?
    Aplicando la fórmula:
    &(d, p)=(d+p-2)!÷(d-1)!×(p-1)!
    En tal caso: «d=3»
    &(3, p)=(3+p-2)!÷(3-1)!×(p-1)!
    &(3, p)= (p+1)!÷(2)×(p-1)!
    &(3, p)=( p)×(p+1)÷2
    Siendo la expresión de la derecha la fórmula de los números triangulares. Por consiguiente; todos los elementos o números ubicados en la tercera diagonal del triángulo de Pascal son números triangulares.

  4. Juan Carlos Guilarte Rangel

    *Por qué todos los elementos o números ubicados en la primera diagonal del triángulo de Pascal son iguales a la unidad?
    En tal caso: «d=1»
    &(1, p)=(1+p-2)!÷(1-1)!×(p-1)!
    &(1, p)=(p-1)!÷(p-1)!
    &(1, p)=1 ; para cualquier valor de «p»
    Por consiguiente: todos los elementos o números ubicados en la primera diagonal del triángulo de Pascal independientemente de su posición es igual a la unidad.

    *Por qué todos los elementos de la segunda diagonal del triángulo de Pascal es igual al conjunto de los números enteros positivos?
    En tal caso: «d=2»
    &(2,p)=(2+p-2)!÷(2-1)!×(p-1)!
    &(2, p)=(p!)÷(p-1)!
    &(2, p)= p ; donde: «p» es un entero positivo.
    Por consiguiente: el conjunto de todos los elementos o números ubicados en la primera diagonal del triángulo de Pascal es igual al conjunto de los números enteros positivos.

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