Números perfectos en otras bases

Lista de números perfectos http://www.vaxasoftware.com/

¿Recordais los números perfectos?: según la Wikipedia, un número perfecto es un número natural que es igual a la suma de sus divisores propios positivos, es decir, todos sus divisores (desde 1) menos él mismo.

Se generan a través de la fórmula 2p-1×(2p-1) siempre que p y 2p-1 sean primos.

Los primeros números perfectos son 6, 28, 496, 8128 porque cumplen la definición:

22-1×(22-1)=6=1+2+3
23-1×(23-1)=28=1+2+4+7+14
25-1×(25-1)=496=1+2+4+8+16+31+62+124+248
27-1×(27-1)=8128=1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064

Hasta ahora se han encontrado 50 números perfectos y no ha conseguido demostrarse que su número sea infinito.

En OEIS tenéis definida la sucesión A000396 de números perfectos y abundantes referencias.

Curiosamente, el formato en base binaria de esos números es

  • 6=110(2
  • 28=11100(2
  • 496=111110000(2
  • 8128=1111111000000(2

números formados por p ‘unos’ y p-1 ‘ceros’, debido, evidentemente, a la fórmula que los genera.

Lo que no es tan evidente es su escritura en bases 3 y 4:

  • 6=20(3=12(4
  • 28=1001(3=130(4
  • 496=200101(3=13300(4
  • 8128=102011001(3=1333000(4

que también permite adivinar unos patrones muy evidentes en sus expresiones. ¿Por qué?

En la web Fun With Numb3rs se pueden apreciar las expresiones de más números de la lista de perfectos.

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